Физтех 2024/25 · Физика · 11 кл., №4 — решение · Отборочный этап

Условие

В лифте, движущемся вниз по вертикали со скоростью $V = 0{,}5$ м/с, к потолку прикреплена пружина, на которой висит груз. Удлинение пружины $\Delta L = 9$ см.

Найдите амплитуду $A$ колебаний смещения груза после резкой остановки лифта. Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с². Ответ приведите в [см] с округлением до десятых.

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, третий тур (3 попытка)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2024/25

Ни масса груза, ни жёсткость пружины не даны. Подумай, где находится груз и как он движется относительно кабины в момент остановки. Ниже можно сверить ответ в сантиметрах.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеОстановка лифта

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Остановка лифта

На сколько отклонится груз от положения, где он висел, после резкой остановки лифта?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. В момент остановки груз в положении равновесия и движется со скоростью V; это наибольшая скорость колебаний, V = Aω, а ω найди из kΔL = mg.

Подсказка 1

Пока лифт ехал равномерно, груз покоился относительно кабины в положении равновесия: $k\Delta L = mg$ В момент резкой остановки пружина не успевает измениться — где груз и какая у него скорость относительно кабины?

Подсказка 2

После остановки груз колеблется около того же положения равновесия с круговой частотой $\omega = \sqrt{k/m} = \sqrt{g/\Delta L}$ . Положение равновесия груз проходит с наибольшей скоростью $A\omega$

Разобрать решение по шагам

Где груз в момент остановки

Пока лифт двигался равномерно, его система отсчёта инерциальная: груз в ней покоился в положении равновесия, где сила упругости уравновешивает силу тяжести:

k\Delta L = mg \quad\Rightarrow\quad \frac km = \frac g{\Delta L}.

Лифт остановился резко, пружина не успела растянуться: груз ещё в положении равновесия, но продолжает двигаться вниз со скоростью $V$ — теперь уже относительно неподвижной кабины.

Колебания около положения равновесия

Дальше груз колеблется около этого положения с круговой частотой

\omega = \sqrt{\frac km} = \sqrt{\frac g{\Delta L}} = \sqrt{\frac{10}{0{,}09}} \approx 10{,}54 \ \text{с}^{-1}.

Смещение $x = A\sin\omega t$ скорость $A\omega\cos\omega t$ в положении равновесия скорость наибольшая и равна $A\omega$ У нас там скорость $V$ поэтому $A\omega = V$

После остановки груз начинает колебания из положения равновесия со скоростью

V

— это наибольшая скорость,

V = A\omega

Амплитуда

A = \frac V\omega = V\sqrt{\frac{\Delta L}g} = 0{,}5 \cdot \sqrt{\frac{0{,}09}{10}} \approx 0{,}0474 \text{ м} \approx 4{,}7 \text{ см}.

То же из энергии: $\dfrac{mV^2}2 = \dfrac{kA^2}2$ — около положения равновесия сила тяжести и пружина вместе действуют как одна пружина жёсткости $k$

Проверка

Проверка: независимый расчёт интегрирует движение груза методом Рунге — Кутты с $x'' = g - (k/m)x$ после остановки, начиная с удлинения $\Delta L$ и скорости $V$ на двух периодах и берёт половину размаха: $4{,}743$ см. Другие версии: ID 3920 — $0{,}6\sqrt{0{,}014} \approx 0{,}0710$ м $\approx 7{,}1$ см; ID 3921 — $0{,}7\sqrt{0{,}008} \approx 0{,}0626$ м $\approx 6{,}3$ см; ID 3922 — $0{,}8\sqrt{0{,}011} \approx 0{,}0839$ м $\approx 8{,}4$ см.

Ответ

$A = V\sqrt{\dfrac{\Delta L}g} \approx 4{,}7$ см.

Ответ

$A = V\sqrt{\dfrac{\Delta L}g} \approx 4{,}7$ см.

Главная идея

До остановки груз висел в положении равновесия, kΔL = mg, поэтому ω = √(g/ΔL). При резкой остановке он оказывается в положении равновесия со скоростью V — это наибольшая скорость колебаний: V = Aω, A = V√(ΔL/g).

Резкая остановка или рывок подвеса — в первый момент тело на прежнем месте с прежней скоростью; если это положение равновесия, скорость и есть амплитуда скорости Aω.

Где легко ошибиться

Считать, что после остановки груз начинает из крайнего положения, или прибавлять к амплитуде удлинение ΔL. Ещё ошибка — считать частоту по массе и жёсткости, которых нет в условии: нужна только их комбинация k/m = g/ΔL.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2024/25 · отборочный этап, третий тур (3 попытка). Задача 4, версия с ID 3919 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3920, 3921, 3922) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 4) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф11 3 попытка 2024», стр. 1 ↗).

Продолжить тему: Механические колебания →

Тема, знания и приёмы

Механические колебания · Нужна школьная база

Пружинный маятник: ω = √(k/m)
Гармонические колебания: связь амплитуд смещения и скорости

Приёмы решения: Относительное движение · Закон сохранения энергии

Задать вопрос по задаче →