Физтех 2024/25 · Физика · 11 кл., №5 — решение · Отборочный этап

Условие

Один моль одноатомного идеального газа медленно сжимают так, что число соударений молекул со стенками в расчете на единицу площади за единицу времени не изменяется.

Найдите работу $A$ внешних сил над газом в рассматриваемом процессе к тому моменту, когда температура газа уменьшилась на $|\Delta T| = 140$ K. Универсальная газовая постоянная $R = 8{,}31$ Дж/(моль·К). Ответ приведите в [Дж] с округлением до целых.

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, третий тур (3 попытка)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2024/25

Начальные давление, объём и температура не даны. Сначала разберись, от чего зависит число ударов молекул о стенку и что из этого следует для связи давления и объёма. Ниже можно сверить ответ в джоулях.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеГаз под поршнем

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Газ под поршнем

Как должна меняться температура при сжатии, чтобы число ударов о стенку не менялось, и какая при этом работа?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Число ударов о единицу площади пропорционально √T/V. Сделай его постоянным, найди связь давления и объёма и посчитай работу как площадь под графиком p(V).

Подсказка 1

Число ударов о единицу площади за единицу времени пропорционально концентрации молекул $n$ и их средней скорости: $z \propto n\langle v\rangle$ . Для одного моля $n \propto 1/V$ а $\langle v\rangle \propto \sqrt T$ . Что значит $z = \text{const}$ для $T$ и $V$

Подсказка 2

Из $\sqrt T/V = \text{const}$ следует $T \propto V^2$ а давление $p = RT/V \propto V$ процесс на диаграмме $p$ – $V$ — отрезок прямой через начало координат. Работа внешних сил при сжатии — площадь трапеции под этим отрезком.

Разобрать решение по шагам

Число ударов

За единицу времени о единицу площади стенки ударяются молекулы из слоя толщины порядка средней скорости: $z = \tfrac14 n\langle v\rangle$ , где $n$ — концентрация. Для одного моля $n = N_A/V$ а средняя скорость $\langle v\rangle = \sqrt{8RT/(\pi M)} \propto \sqrt T$ . Поэтому

z \propto \frac{\sqrt T}{V} = \text{const} \quad\Rightarrow\quad T \propto V^2.

При сжатии газ охлаждается: объём уменьшается — уменьшается и температура.

Давление пропорционально объёму

Из уравнения состояния $p = \dfrac{RT}V \propto \dfrac{V^2}V = V$ : процесс $p = \alpha V$ — на диаграмме $p$ – $V$ отрезок прямой, продолжение которого проходит через начало координат.

Работа внешних сил при сжатии от $V_1$ до $V_2$ — площадь под этим отрезком, трапеция:

A = \frac{(p_1 + p_2)(V_1 - V_2)}2 = \frac\alpha2\left(V_1^2 - V_2^2\right) = \frac{p_1V_1 - p_2V_2}2.

При постоянном числе ударов

p \propto V

работа внешних сил — площадь трапеции под отрезком процесса.

Работа через изменение температуры

Для одного моля $pV = RT$ поэтому

A = \frac{RT_1 - RT_2}2 = \frac{R|\Delta T|}2 = \frac{8{,}31 \cdot 140}2 = 581{,}7 \text{ Дж} \approx 582 \text{ Дж}.

Проверка

Проверка: независимый расчёт сжимает газ малыми шагами, на каждом шаге подбирает объём делением отрезка пополам так, чтобы число ударов $n\langle v\rangle/4$ оставалось прежним, и складывает $p\,\Delta V$ $581{,}70$ Дж; два разных начальных состояния дают одно и то же. Другие версии: ID 3924 — $8{,}31 \cdot 90 = 747{,}9 \approx 748$ Дж; ID 3925 — $8{,}31 \cdot 110 = 914{,}1 \approx 914$ Дж; ID 3926 — $8{,}31 \cdot 120 = 997{,}2 \approx 997$ Дж.

Ответ

$A = \dfrac{R|\Delta T|}2 \approx 582$ Дж.

Ответ

$A = \dfrac{R|\Delta T|}2 \approx 582$ Дж.

Главная идея

Число ударов о единицу площади z ∝ n⟨v⟩ ∝ √T/V. Если оно постоянно, T ∝ V² и p ∝ V — процесс на диаграмме p–V лежит на прямой через начало координат. Работа — площадь трапеции, (p₁V₁ − p₂V₂)/2 = R|ΔT|/2.

Необычное условие процесса через микропараметры (удары, средняя скорость, концентрация) — перевести его в связь T и V, затем p и V, и считать работу как площадь под графиком.

Где легко ошибиться

Считать процесс изотермическим или изобарным, потому что «удары не меняются». Другая ошибка — забыть, что работа внешних сил — площадь трапеции, и умножить одно давление на изменение объёма. Ещё одна — ответить теплотой: газ отдаёт 2R|ΔT| ≈ 2327 Дж, а работа вчетверо меньше.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2024/25 · отборочный этап, третий тур (3 попытка). Задача 5, версия с ID 3923 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3924, 3925, 3926) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 5) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф11 3 попытка 2024», стр. 1 ↗).

Продолжить тему: Газы и термодинамика →

Тема, знания и приёмы

Газы и термодинамика · Начальный вход

Основы молекулярно-кинетической теории: концентрация, средняя скорость
Уравнение состояния идеального газа
Работа газа — площадь под графиком p(V)

Приёмы решения: Чтение графика и сопоставление состояний · Удачная подстановка или замена

Задать вопрос по задаче →