Физтех 2024/25 · Физика · 11 кл., №2 — решение · Отборочный этап

Условие

К левому концу легкой нити, переброшенной через гладкую горизонтальную трубу, подвешен груз массы $m = 120$ г, по правой части нити скользит с постоянной относительно нити скоростью кольцо массы $m/2$

Найдите силу трения, действующую на кольцо. Ускорение свободного падения $10$ м/с². Нить свободно скользит по трубе. Ответ приведите в [Н] с округлением до десятых.

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, третий тур (3 попытка)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2024/25

Кольцо скользит «с постоянной скоростью» — но относительно нити, а не относительно Земли. Подумай, как движется сама нить и чему равно её натяжение ниже кольца. Ниже можно сверить ответ в ньютонах.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеКольцо на нити

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Кольцо на нити

При какой силе трения кольцо скользит вдоль нити с постоянной скоростью?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Ниже кольца нить свободна — значит, трение равно натяжению. Кольцо движется вместе с нитью с одинаковым ускорением: запиши второй закон Ньютона для груза и для кольца.

Подсказка 1

Ниже кольца нить свободно висит — её натяжение там равно нулю. Рассмотри маленький кусочек нити, на котором сидит кольцо: какие силы на него действуют? Отсюда связь силы трения и натяжения нити.

Подсказка 2

Кольцо движется относительно нити равномерно, поэтому его ускорение равно ускорению правой части нити — то есть по модулю ускорению груза, но направлено вверх. Запиши второй закон Ньютона для груза и для кольца.

Разобрать решение по шагам

Сила трения равна натяжению нити

Нить лёгкая, труба гладкая — натяжение $T$ одинаково по обе стороны трубы. Ниже кольца нить свободна, натяжение там ноль. На кусочек нити внутри кольца действуют только натяжение $T$ сверху и сила трения со стороны кольца, а масса кусочка ничтожна, поэтому

F_{\text{тр}} = T.

По третьему закону Ньютона на кольцо нить действует такой же силой трения $T$ направленной вверх: кольцо скользит относительно нити вниз.

Ускорения кольца и груза

Нить нерастяжима: если груз опускается с ускорением $a$ правая часть нити поднимается с тем же ускорением. Кольцо скользит вдоль нити с постоянной скоростью, значит, его ускорение равно ускорению нити — $a$ направленное вверх. Второй закон Ньютона:

\text{груз: } ma = mg - T, \qquad \text{кольцо: } \frac m2\,a = T - \frac m2\,g.

Нить ниже кольца свободна, поэтому трение равно натяжению; кольцо и груз движутся с одинаковыми по модулю ускорениями.

Ответ

Сложим уравнения: $\dfrac{3m}{2}\,a = \dfrac{mg}{2}$ , откуда $a = \dfrac g3$ Тогда

F_{\text{тр}} = T = mg - ma = \frac23\,mg = \frac23 \cdot 0{,}12 \cdot 10 = 0{,}8 \text{ Н}.

Сила трения больше силы тяжести кольца ( $0{,}6$ Н) — поэтому кольцо и разгоняется вверх вместе с нитью.

Проверка

Проверка: независимый расчёт задаёт силу трения, двигает груз и кольцо малыми шагами по времени по законам Ньютона и делением отрезка пополам ищет силу, при которой скорость кольца относительно нити не меняется: $0{,}8$ Н, ускорение системы $g/3$ Ещё одна проверка: если кольцо закрепить на нити, получится машина Атвуда с грузами $m$ и $m/2$ — ускорение $\dfrac{(m - m/2)g}{3m/2} = \dfrac g3$ и натяжение $\tfrac23mg$ то же самое. Равномерное скольжение вдоль нити по динамике не отличается от движения вместе с нитью. Другие версии: ID 3912 — $\tfrac23 \cdot 0{,}09 \cdot 10 = 0{,}6$ Н; ID 3913 — $0{,}4$ Н; ID 3914 — $0{,}2$ Н.

Ответ

$F_{\text{тр}} = \dfrac23\,mg = 0{,}8$ Н.

Ответ

$F_{\text{тр}} = \dfrac23\,mg = 0{,}8$ Н.

Главная идея

Ниже кольца нить свободна, поэтому сила трения кольца о нить равна натяжению нити. «Постоянная скорость относительно нити» значит, что кольцо движется с ускорением нити — вверх с тем же a, с каким опускается груз; два уравнения Ньютона дают a = g/3 и F_тр = 2mg/3.

Тело скользит по нити или верёвке с постоянной относительной скоростью — его ускорение равно ускорению этого участка нити; натяжение нити у свободного конца равно силе трения.

Где легко ошибиться

Считать, что кольцо движется равномерно относительно Земли, и уравновесить его вес: F_тр = mg/2 = 0,6 Н. Но нить ускоряется, и с ней ускоряется кольцо. Другая ошибка — считать натяжение нити равным весу груза mg: груз ускоряется вниз, натяжение меньше.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2024/25 · отборочный этап, третий тур (3 попытка). Задача 2, версия с ID 3911 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3912, 3913, 3914) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 2) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф11 3 попытка 2024», стр. 1 ↗).

Продолжить тему: Силы и ускорение →

Тема, знания и приёмы

Силы и ускорение · Начальный вход

Второй закон Ньютона для системы связанных тел
Натяжение лёгкой нити, сила трения скольжения

Приёмы решения: Уравнение сил · Относительное движение

Задать вопрос по задаче →