Физтех 2024/25 · Физика · 11 кл., №1 — решение · Отборочный этап

Условие

На участке бобслейной трассы санки движутся с постоянным тангенциальным ускорением по криволинейной траектории. В начале участка скорость санок $V_0 = 5$ м/с. После прохождения на этом участке пути длиной $S$ скорость санок $V_1 = 10$ м/с.

Найдите скорость санок в тот момент, когда пройденный санками путь был равен $k \cdot S$ здесь $k = 0{,}7$ Ответ приведите в [м/с] с округлением до десятых.

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, третий тур (3 попытка)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2024/25

Ни форма трассы, ни длина участка не даны. Подумай, нужны ли они вообще, и проверь первую догадку «скорость растёт пропорционально пути». Ниже можно сверить ответ в м/с.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеСанки на трассе

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Санки на трассе

Какая скорость при пути kS делает тангенциальное ускорение одинаковым на всём участке?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй график квадрата скорости от пройденного пути: при постоянном тангенциальном ускорении это прямая от V₀² до V₁². Найди её значение при пути kS.

Подсказка 1

Ускорение санок раскладывается на тангенциальное (вдоль скорости) и нормальное (поперёк). Нормальное только поворачивает скорость, модуль меняет только тангенциальное. Значит, модуль скорости меняется так же, как при равноускоренном движении по прямой, — а путь играет роль координаты.

Подсказка 2

При постоянном $a_\tau$ для пройденного пути $s$ верно $v^2 = V_0^2 + 2a_\tau s$ Запиши это для $s = S$ и для $s = kS$ и исключи неизвестное $a_\tau S$

Разобрать решение по шагам

Повороты не меняют модуль скорости

Ускорение санок на кривой — сумма двух частей: тангенциальной $a_\tau$ направленной вдоль скорости, и нормальной $a_n = v^2/\rho$ направленной к центру кривизны. Нормальная часть перпендикулярна скорости и только поворачивает её, модуль скорости меняет только тангенциальная:

\frac{dv}{dt} = a_\tau = \text{const}.

Поэтому форма трассы для ответа не важна: модуль скорости меняется так, будто санки едут по прямой с ускорением $a_\tau$

Квадрат скорости растёт пропорционально пути

При равноускоренном движении по прямой $v^2 = V_0^2 + 2as$ Здесь роль координаты играет пройденный путь $s$

v^2 = V_0^2 + 2a_\tau s.

Это видно и без формулы для прямой: за малое время $dt$ путь растёт на $v\,dt$ а скорость — на $a_\tau dt$ поэтому $d(v^2) = 2v\,dv = 2a_\tau\,v\,dt = 2a_\tau\,ds$ . По пути линеен именно квадрат скорости, а сама скорость линейна по времени.

Квадрат скорости растёт по пути линейно, поэтому сама скорость при пути

0{,}7S

больше, чем дала бы линейная по пути догадка.

Скорость при пути kS

Для всего участка $V_1^2 = V_0^2 + 2a_\tau S$ , поэтому $2a_\tau S = V_1^2 - V_0^2$ . При пути $kS$

v^2 = V_0^2 + 2a_\tau kS = V_0^2 + k\left(V_1^2 - V_0^2\right) = 25 + 0{,}7 \cdot 75 = 77{,}5 \ (\text{м/с})^2,

v = \sqrt{77{,}5} \approx 8{,}80 \text{ м/с} \approx 8{,}8 \text{ м/с}.

Проверка

Проверка: независимый расчёт двигает санки малыми шагами по времени с постоянным тангенциальным ускорением, подбирает его делением отрезка пополам так, чтобы после пути $S$ скорость стала $V_1$ и снимает скорость при пути $kS$ $8{,}8034$ м/с — то же, что $\sqrt{77{,}5}$ Ответ не зависит ни от длины $S$ ни от формы трассы. Другие версии: ID 3908 — $\sqrt{16 + 0{,}6 \cdot 128} = \sqrt{92{,}8} \approx 9{,}6$ м/с; ID 3909 — $\sqrt{4 + 0{,}4 \cdot 60} = \sqrt{28} \approx 5{,}3$ м/с; ID 3910 — $\sqrt{36 + 0{,}5 \cdot 160} = \sqrt{116} \approx 10{,}8$ м/с.

Ответ

$v = \sqrt{V_0^2 + k\left(V_1^2 - V_0^2\right)} = \sqrt{77{,}5} \approx 8{,}8$ м/с.

Ответ

$v = \sqrt{V_0^2 + k\left(V_1^2 - V_0^2\right)} = \sqrt{77{,}5} \approx 8{,}8$ м/с.

Главная идея

Постоянное тангенциальное ускорение меняет модуль скорости так же, как при равноускоренном движении по прямой, а путь играет роль координаты: v² = V₀² + 2a_τs. Кривизна трассы на модуль скорости не влияет — нормальное ускорение только поворачивает скорость.

Движение по кривой с постоянным тангенциальным ускорением и вопрос о модуле скорости — забыть про форму траектории и применить формулы равноускоренного движения к пути.

Где легко ошибиться

Считать скорость пропорциональной пути: V₀ + k(V₁ − V₀) = 8,5 м/с вместо 8,8 м/с (в других версиях 8,8; 4,4; 10 вместо 9,6; 5,3; 10,8 м/с). Другая ошибка — пытаться учесть повороты трассы: нормальное ускорение модуль скорости не меняет.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2024/25 · отборочный этап, третий тур (3 попытка). Задача 1, версия с ID 3907 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3908, 3909, 3910) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф11 3 попытка 2024», стр. 1 ↗).

Продолжить тему: Кинематика →

Тема, знания и приёмы

Кинематика · Нужна школьная база

Тангенциальное и нормальное ускорение
Равноускоренное движение: связь скорости и пути

Приёмы решения: Координаты и проекции

Задать вопрос по задаче →