Физтех 2024/25 · Физика · 11 кл., №7 — решение · Отборочный этап

Условие

Отрицательный точечный заряд находится на расстоянии $b = 0{,}6$ м от бесконечной проводящей плоскости.

На каком расстоянии от точечного заряда поверхностная плотность заряда, индуцированного на плоскости, в $n = 8$ раз меньше максимальной? Ответ приведите в [м] с округлением до десятых.

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, третий тур (3 попытка)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2024/25

Заряд притягивает к плоскости положительные заряды проводника — больше всего прямо под собой. Подумай, как найти поле у поверхности проводника, не зная заранее, как распределились заряды. Ниже можно сверить ответ в метрах.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеЗаряд над плоскостью

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Заряд над плоскостью

Как быстро убывает плотность индуцированного заряда при удалении от заряда?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Замени проводник зарядом +q, зеркально отражённым относительно плоскости. В точке плоскости на расстоянии r от заряда поле перпендикулярно плоскости, E = 2kqb/r³, а σ = ε₀E.

Подсказка 1

Поверхность проводника эквипотенциальна. Подбери систему зарядов, у которой плоскость тоже эквипотенциальна: заряд $-q$ и такой же по модулю положительный заряд, зеркально отражённый относительно плоскости. Над плоскостью поле такой пары совпадает с настоящим.

Подсказка 2

В точке плоскости на расстоянии $r$ от заряда оба заряда создают поля $\dfrac{kq}{r^2}$ составляющие вдоль плоскости гасят друг друга, перпендикулярные складываются. А у поверхности проводника $E = \sigma/\varepsilon_0$

Разобрать решение по шагам

Заряд-изображение

Поле над плоскостью создают заряд $-q$ и индуцированные заряды проводника, а как они распределились, заранее неизвестно. Известно другое: поверхность проводника эквипотенциальна.

Возьмём вместо проводника заряд $+q$ на том же расстоянии $b$ по другую сторону плоскости — «изображение». Каждая точка плоскости одинаково удалена от $-q$ и от $+q$ их потенциалы там гасятся: плоскость снова эквипотенциальна. Над плоскостью условия те же — значит, и поле то же. Индуцированные заряды действуют над плоскостью так же, как заряд $+q$ под ней.

Поле и плотность заряда на плоскости

В точке плоскости на расстоянии $r$ от заряда каждый из двух зарядов создаёт поле $\dfrac{kq}{r^2}$ Составляющие вдоль плоскости равны и противоположны, а перпендикулярные, по $\dfrac{kq}{r^2}\cdot\dfrac br$ , складываются:

E = \frac{2kqb}{r^3}.

У поверхности проводника $E = \dfrac\sigma{\varepsilon_0}$ , поэтому

\sigma = \varepsilon_0E = \frac{qb}{2\pi r^3}

— плотность убывает как $1/r^3$

Поле над плоскостью — поле заряда и его изображения: в точке плоскости их составляющие вдоль неё гасятся, поперёк — складываются.

Ответ

Наибольшая плотность — прямо под зарядом, где $r = b$ Отношение

\frac{\sigma_{\max}}{\sigma} = \frac{r^3}{b^3} = n \quad\Rightarrow\quad r = b\sqrt[3]n = 0{,}6\cdot\sqrt[3]8 = 1{,}2 \text{ м}.

Это расстояние от точечного заряда, как и спрошено. Вдоль плоскости от основания перпендикуляра до этой точки $\sqrt{r^2 - b^2} \approx 1{,}04$ м.

Проверка

Проверка: независимый расчёт складывает по закону Кулона поля заряда и изображения в точках плоскости, берёт $\sigma = \varepsilon_0E$ и делением отрезка пополам ищет точку, где плотность в $n$ раз меньше, чем под зарядом: $1{,}2$ м. Там же проверено, что весь индуцированный заряд — сумма по кольцам вокруг основания перпендикуляра до расстояния $2000b$ — равен $+q$ с точностью $0{,}05\,\%$ недостающая доля приходится на кольца дальше. Другие версии: ID 3932 — $0{,}5\cdot\sqrt[3]{27} = 1{,}5$ м; ID 3933 — $0{,}7\cdot\sqrt[3]{125} = 3{,}5$ м; ID 3934 — $0{,}8\cdot\sqrt[3]{216} = 4{,}8$ м.

Ответ

$r = b\sqrt[3]n = 1{,}2$ м.

Ответ

$r = b\sqrt[3]n = 1{,}2$ м.

Главная идея

Проводящую плоскость заменяет заряд-изображение +q зеркально под ней: плоскость остаётся эквипотенциальной, поле над ней то же. В точке плоскости поле перпендикулярно ей, E = 2kqb/r³, а σ = ε₀E ∝ 1/r³; σ_max/σ = r³/b³ = n, r = b∛n.

Точечный заряд у заземлённой или большой проводящей плоскости — метод изображений; плотность индуцированного заряда ∝ b/r³.

Где легко ошибиться

Найти расстояние вдоль плоскости от основания перпендикуляра — √(r² − b²) ≈ 1,0 м, а спрошено расстояние от точечного заряда. Другая ошибка — взять модуль поля одного заряда kq/r² без проекции: тогда σ ∝ 1/r² и r = b√n ≈ 1,7 м.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2024/25 · отборочный этап, третий тур (3 попытка). Задача 7, версия с ID 3931 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3932, 3933, 3934) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 8) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф11 3 попытка 2024», стр. 2 ↗).

Продолжить тему: Электростатика →

Тема, знания и приёмы

Электростатика · Начальный вход

Поле точечного заряда, сложение полей
Поле у поверхности проводника: E = σ/ε₀

Приёмы решения: Закон отражения · Симметрия и попарное соответствие

Задать вопрос по задаче →