Физтех 2024/25 · Физика · 11 кл., №10 — решение · Отборочный этап

Условие

Камень брошен под углом $\alpha$ к горизонту, $\operatorname{tg}\alpha = 0{,}8$ . Точка старта находится на высоте $H = 5$ м над горизонтальной площадкой. В процессе полета высота, на которой находится камень, растет, достигает максимума, а затем убывает до нуля. В момент падения камня на площадку вектор скорости камня образует с горизонтом угол $\beta$ такой, что $\operatorname{tg}\beta = 1{,}3$ .

Найдите горизонтальное перемещение камня за время полета. Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с². Ответ приведите в [м] с округлением до целого числа.

Оговорка Popov Academy. В официальном условии всех четырёх версий спрошено «перемещение мяча», хотя брошен камень, — это опечатка, на ответ она не влияет.

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, третий тур (3 попытка)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2024/25

Скорость броска не дана — зато известны углы скорости в начале и в конце полёта. Подумай, какая составляющая скорости в полёте не меняется и как меняется другая. Ниже можно сверить ответ в метрах.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеБросок с высоты

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Бросок с высоты

С какой скоростью бросить камень, чтобы он упал на площадку под углом β, и как далеко он улетит?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Горизонтальная скорость u постоянна, вертикальная меняется от u·tg α вверх до u·tg β вниз. Запиши (u tg β)² − (u tg α)² = 2gH и время полёта t = u(tg α + tg β)/g, затем перемножь u и t.

Подсказка 1

Горизонтальная составляющая скорости $u$ постоянна. Тогда вертикальная составляющая в начале равна $u\operatorname{tg}\alpha$ и направлена вверх, а при падении — $u\operatorname{tg}\beta$ вниз. Как они связаны с высотой $H$

Подсказка 2

Для вертикального движения $(u\operatorname{tg}\beta)^2 - (u\operatorname{tg}\alpha)^2 = 2gH$ . Время полёта — изменение вертикальной скорости, делённое на $g$ $t = \dfrac{u(\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta)}g$ . Перемножь $u$ и $t$ и посмотри, что сократится.

Разобрать решение по шагам

Составляющие скорости

Горизонтальная составляющая скорости $u$ в полёте не меняется. Вертикальная в начале равна $u\operatorname{tg}\alpha$ и направлена вверх, при падении — $u\operatorname{tg}\beta$ вниз. По вертикали камень движется с ускорением $g$ и опускается на $H$ поэтому

(u\operatorname{tg}\beta)^2 - (u\operatorname{tg}\alpha)^2 = 2gH, \qquad u^2 = \frac{2gH}{\operatorname{tg}^2\beta - \operatorname{tg}^2\alpha}.

Время полёта

Вертикальная скорость равномерно меняется от $u\operatorname{tg}\alpha$ вверх до $u\operatorname{tg}\beta$ вниз — всего на $u(\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta)$ , по $g$ в секунду. Время полёта

t = \frac{u(\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta)}{g}.

Знак важен: сначала вертикальная скорость гасится до нуля, потом набирается вниз, поэтому тангенсы складываются.

Горизонтальная скорость

u

одна и та же в начале и в конце; вертикальная меняется от

u\operatorname{tg}\alpha

вверх до

u\operatorname{tg}\beta

вниз.

Горизонтальное перемещение

x = ut = \frac{u^2(\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta)}{g} = \frac{2H(\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta)}{\operatorname{tg}^2\beta - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2H}{\operatorname{tg}\beta - \operatorname{tg}\alpha}.

Разность квадратов разложилась на множители, и сумма тангенсов сократилась — неизвестная скорость не понадобилась:

x = \frac{2 \cdot 5}{1{,}3 - 0{,}8} = 20 \text{ м}.

Проверка

Проверка: независимый расчёт запускает камень шагами по времени и делением отрезка пополам подбирает скорость броска, при которой скорость при падении составляет с горизонтом угол с $\operatorname{tg}\beta = 1{,}3$ : перемещение $20{,}0$ м (скорость броска при этом $u\sqrt{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} \approx 12{,}5$ м/с). Другой путь — через наклоны: траектория — парабола, а у параболы наклон хорды равен среднему наклонов касательных в её концах: $-\dfrac Hx = \dfrac{\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta}2$ , откуда то же $x = \dfrac{2H}{\operatorname{tg}\beta - \operatorname{tg}\alpha}$ . Другие версии: ID 3944 — $\dfrac{2\cdot 8}{1{,}5 - 0{,}5} = 16$ м; ID 3945 — $\dfrac{2\cdot 3}{0{,}7 - 0{,}1} = 10$ м; ID 3946 — $\dfrac{2\cdot 10}{1{,}2 - 0{,}4} = 25$ м.

Ответ

$x = \dfrac{2H}{\operatorname{tg}\beta - \operatorname{tg}\alpha} = 20$ м.

Ответ

$x = \dfrac{2H}{\operatorname{tg}\beta - \operatorname{tg}\alpha} = 20$ м.

Главная идея

Горизонтальная скорость u постоянна, вертикальная меняется от u·tg α вверх до u·tg β вниз. Из (u tg β)² − (u tg α)² = 2gH и t = u(tg α + tg β)/g перемещение x = ut = 2H/(tg β − tg α) — неизвестная скорость сокращается.

В задаче о полёте даны углы скорости, а не её модуль — работать с составляющими: горизонтальная постоянна, вертикальные связаны с высотой и временем; разность квадратов тангенсов раскладывается на множители.

Где легко ошибиться

Ошибиться в знаке: считать, что вертикальная скорость меняется на u(tg β − tg α), забыв, что в начале она направлена вверх. Тогда x = 2H/(tg β + tg α) ≈ 4,8 м ≈ 5 м вместо 20. Другая ошибка — пытаться найти скорость броска по одному углу и высоте: для этого нужны оба угла.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2024/25 · отборочный этап, третий тур (3 попытка). Задача 10, версия с ID 3943 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3944, 3945, 3946) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 15) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф11 3 попытка 2024», стр. 3 ↗).

Продолжить тему: Кинематика →

Тема, знания и приёмы

Кинематика · Начальный вход

Движение тела, брошенного под углом к горизонту
Равноускоренное движение: v² − v₀² = 2as

Приёмы решения: Координаты и проекции · Среднее и взвешенное среднее

Задать вопрос по задаче →