Физика · 11 класс · Физтех 2024/25 · второй тур

Задача 9. Протоны в циклотроне: обороты в секунду

Условие

В циклотроне протоны движутся в однородном магнитном поле с индукцией B=0,4B = 0{,}4 Тл по круговым орбитам.

Сколько миллионов оборотов в секунду совершают протоны? Удельный заряд протона emp=0,96⋅108\dfrac{e}{m_p} = 0{,}96 \cdot 10^8 Кл/кг. Считайте π=3,14\pi = 3{,}14. Скорость протонов во много раз меньше скорости электромагнитных волн в вакууме. В ответе приведите целое число миллионов оборотов.

О задаче · 11 класс
Олимпиада
Физтех (МФТИ)
Этап
Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс
Физика · 11 класс
Сезон
2024/25

Скорость протонов не дана — и не нужна. Подумай, почему число оборотов в секунду не зависит от того, по какой орбите летит протон. Ниже можно сверить ответ — целое число миллионов оборотов в секунду.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеПротон в циклотроне

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Протон в циклотроне

Сколько оборотов в секунду делает протон, если его скорость растёт с каждым оборотом?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Запиши второй закон Ньютона для протона на окружности с силой Лоренца evB и найди отношение v/R — угловую скорость. Зависит ли она от v?

Подсказка 1

На протон действует только сила Лоренца evBevB, она перпендикулярна скорости и направлена к центру орбиты. Запиши второй закон Ньютона для движения по окружности.

Подсказка 2

Из mpv2R=evB\dfrac{m_pv^2}{R} = evB получается vR=empB\dfrac{v}{R} = \dfrac{e}{m_p}B — угловая скорость не зависит ни от скорости, ни от радиуса. За один оборот угол 2π2\pi, поэтому число оборотов в секунду ν=ω2π\nu = \dfrac{\omega}{2\pi}.

Разобрать решение по шагам
1

Сила Лоренца — центростремительная

Скорость протона много меньше скорости света, поэтому годится обычная механика. Магнитная сила evBevB перпендикулярна скорости и направлена к центру орбиты; по второму закону Ньютона

mpv2R=evB⇒ω=vR=empB.\frac{m_pv^2}{R} = evB \quad\Rightarrow\quad \omega = \frac{v}{R} = \frac{e}{m_p}B.
2

Период не зависит от скорости

Быстрый протон летит по большей окружности (R=mpveBR = \dfrac{m_pv}{eB}), медленный — по меньшей, но угловая скорость у них одна и та же. Значит, и период обращения T=2πω=2πmpeBT = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi m_p}{eB} один для всех орбит. На этом и держится циклотрон: напряжение между дуантами меняет знак с постоянной частотой, и протон, разгоняясь, всё время успевает к нужному моменту.

R1R2vevB+2v+B — к намСила Лоренца evB — к центру:mv²/R = evBБыстрее протон — большерадиус: R = mv/(eB)А угловая скоростьодна и та же:ω = v/R = (e/m)Bν = ω/(2π) — оборотовв секунду, при любойскорости и радиусе
Вдвое быстрее — вдвое больший радиус, но та же угловая скорость ω=(e/mp)B\omega = (e/m_p)B: число оборотов в секунду от скорости не зависит.
3

Ответ

Число оборотов в секунду:

ν=1T=12π emp B=0,96⋅108⋅0,42⋅3,14≈6,11⋅106 с−1,\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi}\,\frac{e}{m_p}\,B = \frac{0{,}96 \cdot 10^8 \cdot 0{,}4}{2 \cdot 3{,}14} \approx 6{,}11 \cdot 10^6 \ \text{с}^{-1},

то есть около 6 миллионов оборотов в секунду.

Проверка

Проверка: численное интегрирование движения протона в поле (метод Рунге — Кутты) даёт период, отличающийся от 2πmp/(eB)2\pi m_p/(eB) меньше чем на 0,1 %, при любой начальной скорости; с точным π\pi получается 6,112⋅1066{,}112 \cdot 10^6 вместо 6,115⋅1066{,}115 \cdot 10^6 — те же 6 миллионов. Другие версии: ID 3695 — ≈9,17≈9\approx 9{,}17 \approx 9 млн; ID 3696 — ≈3,06≈3\approx 3{,}06 \approx 3 млн; ID 3697 — ≈12,23≈12\approx 12{,}23 \approx 12 млн.

Ответ

ν=12π emp B≈6,1⋅106\nu = \dfrac{1}{2\pi}\,\dfrac{e}{m_p}\,B \approx 6{,}1 \cdot 10^6 оборотов в секунду — 6 миллионов.

Ответ

ν=12π emp B≈6,1⋅106\nu = \dfrac{1}{2\pi}\,\dfrac{e}{m_p}\,B \approx 6{,}1 \cdot 10^6 оборотов в секунду — 6 миллионов.

Главная идея

Сила Лоренца служит центростремительной: mv²/R = evB, поэтому угловая скорость ω = (e/m)B не зависит ни от скорости, ни от радиуса. Число оборотов в секунду ν = (e/m)B/(2π) одно для всех орбит — на этом и основан циклотрон.

Заряженная частица в однородном магнитном поле, скорость не дана — период и частота обращения от скорости не зависят: ω = (q/m)B.

Где легко ошибиться

Ответить угловой скоростью ω = (e/m)B ≈ 38 млн рад/с: это не число оборотов, за один оборот угол 2π. Другая ошибка — думать, что разгоняющийся протон делает всё меньше оборотов в секунду: радиус растёт вместе со скоростью, и время оборота не меняется.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2024/25 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 9, версия с ID 3694 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3695, 3696, 3697) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 19) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф11 2 попытка 2024», стр. 4 ↗).

Продолжить тему: Магнитное поле и индукция →
Тема, знания и приёмы

Магнитное поле и индукция · Нужна школьная база

  • Сила Лоренца
  • Движение по окружности, угловая скорость и период

Приёмы решения: Уравнение сил

Задать вопрос по задаче →
Увеличенный рисунок