Физтех 2024/25 · Физика · 11 кл., №2 — решение · Отборочный этап

Условие

На гладкой горизонтальной плоскости расположен клин. Гладкая наклонная плоскость клина образует с горизонтом угол $\alpha$ такой, что $\sin\alpha = 0{,}2$ Шайбу удерживают на гладкой наклонной плоскости клина, а затем отпускают. Система приходит в движение, начальные скорости шайбы и клина нулевые. Масса клина $M = 0{,}4$ кг, масса шайбы $m = 0{,}1$ кг. Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с². Клин и шайба движутся поступательно и прямолинейно.

Определите модуль силы, с которой горизонтальная плоскость действует на клин. Ответ приведите в [Н] с округлением до целых.

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2024/25

Если бы клин стоял на месте, ответ нашёлся бы быстро. Но пол гладкий: что сделает клин, когда шайба поедет вниз, и как это изменит силу, с которой она на него давит? Ниже можно сверить ответ в ньютонах.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеШайба на подвижном клине

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Шайба на подвижном клине

С какой силой шайба давит на уезжающий клин и что покажут весы под ним?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй силы на шайбу и на клин отдельно. Клин разгоняет только горизонтальная составляющая силы N; в системе клина на шайбу действует ещё сила инерции mA, и поперёк наклонной плоскости силы уравновешены.

Подсказка 1

Клин на гладком полу не стоит на месте: шайба давит на него, и он уезжает в сторону, противоположную шайбе. Поэтому сила давления шайбы не равна $mg\cos\alpha$ — её надо найти вместе с ускорением клина.

Подсказка 2

Перейди в систему отсчёта клина: в ней на шайбу действует ещё сила инерции $mA$ направленная против ускорения клина. Поперёк наклонной плоскости шайба относительно клина не движется — запиши равновесие сил в этом направлении. Для клина по горизонтали: $N\sin\alpha = MA$

Разобрать решение по шагам

Почему клин уезжает

Пол и клин гладкие, поэтому горизонтальных сил извне нет, и горизонтальный импульс системы остаётся нулевым: шайба едет по клину вниз и в одну сторону, клин — в другую. Его разгоняет только сила $N$ с которой давит шайба (она перпендикулярна наклонной плоскости):

MA = N\sin\alpha.

Клин «уходит» из-под шайбы, поэтому шайба давит на него слабее, чем на неподвижный: $N < mg\cos\alpha$

Шайба давит на клин силой

N

перпендикулярно наклонной плоскости; горизонтальная составляющая этой силы разгоняет клин, вертикальная прижимает его к полу.

Сила давления шайбы

В системе отсчёта клина (она движется с ускорением $A$ ) на шайбу действуют $mg$ $N$ и сила инерции $mA$ направленная против $A$ Относительно клина шайба скользит вдоль наклонной плоскости, поэтому поперёк неё силы уравновешены. Составляющая силы инерции поперёк плоскости равна $mA\sin\alpha$ и направлена от плоскости:

N + mA\sin\alpha = mg\cos\alpha.

Подставим $A = \dfrac{N\sin\alpha}{M}$ :

N\left(1 + \frac{m\sin^2\alpha}{M}\right) = mg\cos\alpha,

откуда

N = \frac{Mmg\cos\alpha}{M + m\sin^2\alpha}.

Сила со стороны пола

По вертикали клин не движется: пол уравновешивает его тяжесть и вертикальную составляющую силы, с которой давит шайба:

F = Mg + N\cos\alpha = Mg + \frac{Mmg\cos^2\alpha}{M + m\sin^2\alpha} = \frac{Mg(M + m)}{M + m\sin^2\alpha}.

При $\sin^2\alpha = 0{,}04$

F = \frac{0{,}4 \cdot 10 \cdot 0{,}5}{0{,}4 + 0{,}1 \cdot 0{,}04} = \frac{2}{0{,}404} \approx 4{,}95 \text{ Н} \approx 5 \text{ Н}.

Это меньше полного веса $(M + m)g = 5$ Н, но ненамного: шайба ускоряется вниз, и часть её веса «не доходит» до пола.

Проверка

Проверка: уравнения Лагранжа для системы «клин + шайба» (независимый расчёт) дают ту же силу $4{,}9505$ Н. Предельные случаи формулы: при очень тяжёлом клине ( $M \gg m$ ) $F \to Mg + mg\cos^2\alpha$ — как у неподвижного клина; при $\alpha \to 0$ шайба лежит на горизонтальной поверхности и $F \to (M + m)g$ при $\alpha \to 90^\circ$ шайба падает свободно вдоль вертикальной стенки и $F \to Mg$ Другие версии: ID 3667 — $\dfrac{25 \cdot 2{,}8}{2{,}608} \approx 26{,}84 \approx 27$ Н; ID 3668 — $\dfrac{17 \cdot 1{,}9}{1{,}798} \approx 17{,}96 \approx 18$ Н; ID 3669 — $\dfrac{6 \cdot 0{,}9}{0{,}675} = 8$ Н.

Ответ

$F = \dfrac{Mg(M + m)}{M + m\sin^2\alpha} \approx 4{,}95$ Н $\approx 5$ Н.

Ответ

$F = \dfrac{Mg(M + m)}{M + m\sin^2\alpha} \approx 4{,}95$ Н $\approx 5$ Н.

Главная идея

Клин на гладком полу уезжает от шайбы, поэтому шайба давит на него слабее, чем на неподвижный. Силу давления и ускорение клина находят вместе: в системе клина поперёк наклонной плоскости силы уравновешены, а клин разгоняет только горизонтальная составляющая силы давления.

Тело скользит по подвижному клину на гладкой поверхности — две неизвестные (сила давления и ускорение клина), два уравнения: равновесие поперёк плоскости в системе клина и второй закон Ньютона для клина по горизонтали.

Где легко ошибиться

Считать клин неподвижным: N = mg cos α и F = Mg + mg cos²α. Ответы здесь после округления случайно совпадают с верными во всех четырёх версиях (5, 27, 18, 8 Н), но рассуждение неверно: при лёгком клине и крутом склоне разница большая. Другая ошибка — ответить полным весом (M + m)g: в ID 3666 это те же 5 Н, а в остальных версиях 28, 19, 9 Н вместо 27, 18, 8 Н.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2024/25 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 2, версия с ID 3666 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3667, 3668, 3669) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 2) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф11 2 попытка 2024», стр. 1 ↗).

Продолжить тему: Силы и ускорение →

Тема, знания и приёмы

Силы и ускорение · Начальный вход

Второй закон Ньютона, третий закон Ньютона
Неинерциальная система отсчёта, сила инерции
Закон сохранения импульса

Приёмы решения: Уравнение сил · Относительное движение · Закон сохранения импульса

Задать вопрос по задаче →