Физтех 2024/25 · Физика · 11 кл., №6 — решение · Отборочный этап

Условие

Влажный воздух находится в цилиндре под поршнем. В начальном состоянии относительная влажность $\varphi = 60\,\%$ Воздух в цилиндре медленно сжимают. Процесс сжатия изотермический. После уменьшения объема в $n = 3$ раза сконденсировалось $m = 4$ г воды.

Определите массу пара в цилиндре в начальном состоянии. Объем воды в конечном состоянии пренебрежимо мал по сравнению с объемом влажного воздуха. Ответ приведите в [г] с округлением до целого числа.

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2024/25

Вода появится не сразу: сначала пар просто сжимается. Подумай, в какой момент он станет насыщенным и что будет дальше. Ниже можно сверить ответ в граммах.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеВлажный воздух под поршнем

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Влажный воздух под поршнем

Сколько пара было в цилиндре, если при сжатии в 3 раза сконденсировалось 4 г воды?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Сначала сожми пар «как газ» и найди, при каком сжатии влажность дойдёт до 100 %. Потом заметь: насыщенный пар в объёме V/n — это 1/(φn) часть начальной массы.

Подсказка 1

Пока пар ненасыщенный, он ведёт себя как идеальный газ: при изотермическом сжатии его давление растёт обратно объёму, и относительная влажность растёт так же. Хватит ли сжатия в 3 раза, чтобы пар стал насыщенным?

Подсказка 2

Без конденсации влажность стала бы $\varphi n = 180\,\%$ — так не бывает, значит, пар насытился, а лишний сконденсировался. В конце насыщенный пар занимает объём $V/n$ при той же температуре. Какая доля начальной массы пара в нём осталась?

Разобрать решение по шагам

Пар становится насыщенным

Воздух и пар в цилиндре не мешают друг другу: у каждого своё парциальное давление. Пока пар ненасыщенный, при изотермическом сжатии в $k$ раз его давление растёт в $k$ раз, и влажность становится $\varphi k$

Без конденсации при сжатии в $n = 3$ раза получилось бы $\varphi n = 0{,}6 \cdot 3 = 1{,}8$ , то есть 180 %. Значит, при сжатии в $1/\varphi \approx 1{,}67$ раза пар стал насыщенным, а дальше его давление и плотность при этой температуре больше не растут — лишний пар превращается в воду.

Сколько пара осталось

Плотность пара при одной температуре пропорциональна его давлению. В начале она равна $\varphi\rho_\text{нас}$ масса пара $m_0 = \varphi\rho_\text{нас}V$ . В конце пар насыщенный и занимает объём $V/n$

m_\text{пар} = \rho_\text{нас}\,\frac{V}{n} = \frac{m_0}{\varphi n}.

Сконденсировалось всё остальное:

m = m_0 - \frac{m_0}{\varphi n} = m_0\left(1 - \frac{1}{\varphi n}\right).

Пока пар ненасыщенный, его масса не меняется; после точки росы масса насыщенного пара убывает обратно сжатию, и разница уходит в воду.

Ответ

m_0 = \frac{m}{1 - \dfrac{1}{\varphi n}} = \frac{m\varphi n}{\varphi n - 1} = \frac{4 \cdot 1{,}8}{0{,}8} = 9 \text{ г}.

В конце паром остаются $9/1{,}8 = 5$ г, водой — $4$ г.

Проверка

Проверка: пошаговый расчёт медленного сжатия с конденсацией (независимый расчёт) при $m_0 = 9$ г даёт ровно 4 г воды при сжатии в 3 раза. Если пар в начале был бы уже насыщенным ( $\varphi = 1$ ), формула дала бы $m_0 = \dfrac{mn}{n - 1}$ — вся «лишняя» часть пара конденсируется с самого начала. Другие версии: ID 3683 — $\varphi n = 1{,}3$ $m_0 = \dfrac{3 \cdot 1{,}3}{0{,}3} = 13$ г; ID 3684 — $\varphi n = 3$ $m_0 = \dfrac{2 \cdot 3}{2} = 3$ г; ID 3685 — $\varphi n = 1{,}42$ $m_0 = \dfrac{5 \cdot 1{,}42}{0{,}42} \approx 16{,}9 \approx 17$ г.

Ответ

$m_0 = \dfrac{m\varphi n}{\varphi n - 1} = 9$ г.

Ответ

$m_0 = \dfrac{m\varphi n}{\varphi n - 1} = 9$ г.

Главная идея

Пока пар ненасыщенный, его давление и влажность при изотермическом сжатии растут обратно объёму; после точки росы пар остаётся насыщенным, и в объёме V/n помещается только доля 1/(φn) начальной массы — остальное конденсируется.

Изотермическое сжатие влажного воздуха с конденсацией — сравнить φn с единицей; в конце пар насыщенный, его масса m₀/(φn).

Где легко ошибиться

Не учесть начальную влажность — считать пар насыщенным с самого начала: m₀ = mn/(n − 1) = 6 г вместо 9 г. Другая ошибка — думать, что воздух мешает пару сжиматься или что давление всей смеси должно стать равным давлению насыщенного пара: важно только парциальное давление пара.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2024/25 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 6, версия с ID 3682 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3683, 3684, 3685) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 12) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф11 2 попытка 2024», стр. 3 ↗).

Продолжить тему: Теплообмен и фазовые переходы →

Тема, знания и приёмы

Теплообмен и фазовые переходы · Нужна школьная база

Насыщенный пар, относительная влажность
Изотермический процесс, закон Дальтона

Приёмы решения: Разбор случаев

Задать вопрос по задаче →