Физтех 2024/25 · Физика · 11 кл., №5 — решение · Отборочный этап

Условие

Циклический процесс, проводимый с одноатомным идеальным газом, представлен на рисунке в координатах $(P, \rho)$ В процессе $1 - 2$ давление газа изменяется по закону $P = a + \dfrac{b}{\rho}$ здесь $a$ и $b$ ‒ постоянные, $\rho$ ‒ плотность газа. Максимальная внутренняя энергия газа в процессе $U_{max} = 4986$ Дж.

Найдите работу газа за цикл. Ответ приведите в [Дж] с округлением до целого числа.

Рисунок к условию

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2024/25

Работа газа — это площадь цикла, но в координатах $(P, V)$ а здесь по оси отложена плотность. Как будет выглядеть этот цикл в привычных координатах? Ниже можно сверить ответ в джоулях.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеЦикл в двух координатах

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Цикл в двух координатах

Какой фигурой станет цикл в координатах объём — давление и какую работу совершит газ?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Переведи плотности точек 1, 2, 3 в объёмы (ρ = m/V) и найди a и b; перепиши закон 1–2 через объём и нарисуй цикл в координатах (V, P).

Подсказка 1

Масса газа в цикле не меняется, поэтому плотность обратна объёму: $\rho = m/V$ Найди постоянные $a$ и $b$ по точкам 1 и 2 и перепиши закон $P = a + b/\rho$ через объём.

Подсказка 2

По точкам 1 и 2: $a = -P_0$ $b = 4P_0\rho_0$ и закон 1–2 превращается в $P = -P_0 + 4P_0\dfrac{V}{V_0}$ — прямую в координатах $(V, P)$ Цикл становится треугольником. Внутренняя энергия одноатомного газа $U = \dfrac32 PV$ — найди, где она наибольшая.

Разобрать решение по шагам

От плотности к объёму

Масса газа постоянна, поэтому $\rho = m/V$ точке 1 с плотностью $\rho_0$ соответствует объём $V_0 = m/\rho_0$ точкам 2 и 3 с плотностью $2\rho_0$ — объём $V_0/2$

Постоянные закона 1–2 найдём по точкам 1 и 2:

3P_0 = a + \frac{b}{\rho_0}, \qquad P_0 = a + \frac{b}{2\rho_0} \quad\Rightarrow\quad b = 4P_0\rho_0, \quad a = -P_0.

Так как $\dfrac{\rho_0}{\rho} = \dfrac{V}{V_0}$ , закон 1–2 в объёмах: $P = -P_0 + 4P_0\dfrac{V}{V_0}$ — отрезок прямой в координатах $(V, P)$

Цикл в координатах (V, P) — треугольник

Точки цикла: 1 $(V_0;\ 3P_0)$ 2 $(V_0/2;\ P_0)$ 3 $(V_0/2;\ 3P_0)$ Процесс 1–2 — отрезок прямой, 2–3 — изохора, 3–1 — изобара. Цикл — прямоугольный треугольник с катетами $2P_0$ и $V_0/2$ обход по часовой стрелке, поэтому работа газа положительна и равна площади:

A = \frac12 \cdot 2P_0 \cdot \frac{V_0}{2} = \frac{P_0V_0}{2}.

В координатах объём — давление цикл становится прямоугольным треугольником, работа газа равна его площади

P_0V_0/2

Где внутренняя энергия наибольшая

Для одноатомного идеального газа $U = \dfrac32\nu RT = \dfrac32 PV$ . На прямой 1–2 произведение

PV = -P_0V + \frac{4P_0V^2}{V_0}

растёт с объёмом при $V > V_0/8$ то есть на всём отрезке от $V_0/2$ до $V_0$ — наибольшее значение в точке 1: $PV = 3P_0V_0$ На изохоре 2–3 и изобаре 3–1 произведение $PV$ тоже не больше $3P_0V_0$ Поэтому и в процессе 1–2, и во всём цикле

U_{max} = \frac32 \cdot 3P_0V_0 = \frac92 P_0V_0.

Ответ

A = \frac{P_0V_0}{2} = \frac{U_{max}}{9} = \frac{4986}{9} = 554 \text{ Дж}.

Проверка

Проверка: работа, найденная численным интегрированием $\oint P\,dV$ вдоль цикла, восстановленного по закону $P(\rho)$ (независимый расчёт), равна $0{,}5P_0V_0$ а наибольшее значение $\frac32 PV$ на цикле — $4{,}5P_0V_0$ в точке 1, отношение $1/9$ Работа по участкам: изобара 3–1 даёт $3P_0 \cdot \frac{V_0}{2} = 1{,}5P_0V_0$ , прямая 1–2 — $-\frac{3P_0 + P_0}{2} \cdot \frac{V_0}{2} = -P_0V_0$ , изохора — ноль; сумма $0{,}5P_0V_0$ Другие версии: ID 3679 — $3085/9 \approx 342{,}8 \approx 343$ Дж; ID 3680 — $3864/9 \approx 429{,}3 \approx 429$ Дж; ID 3681 — $6482/9 \approx 720{,}2 \approx 720$ Дж.

Ответ

$A = \dfrac{U_{max}}{9} = 554$ Дж.

Ответ

$A = \dfrac{U_{max}}{9} = 554$ Дж.

Главная идея

Плотность обратна объёму, и закон P = a + b/ρ становится прямой в координатах (V, P): цикл — прямоугольный треугольник с работой P₀V₀/2. Внутренняя энергия U = (3/2)PV наибольшая в точке 1 и равна 4,5P₀V₀, поэтому A = Uₘₐₓ/9.

Цикл задан в непривычных координатах (P, ρ) или (T, ρ) — перевести плотность в объём (ρ = m/V) и перерисовать цикл в координатах (V, P), где работа — площадь.

Где легко ошибиться

Искать наибольшую энергию там, где наибольшие давление и плотность, — в точке 3: там U = 2,25P₀V₀, вдвое меньше, потому что объём вдвое меньше. Другая ошибка — забыть множитель 3/2 в U = (3/2)PV: получится A = Uₘₐₓ/6 ≈ 831 Дж.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2024/25 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 5, версия с ID 3678 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3679, 3680, 3681) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 9) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф11 2 попытка 2024», стр. 2 ↗).

Продолжить тему: Газы и термодинамика →

Тема, знания и приёмы

Газы и термодинамика · Нужна школьная база

Уравнение состояния идеального газа
Работа газа как площадь под графиком P(V)
Внутренняя энергия одноатомного газа

Приёмы решения: Чтение графика и сопоставление состояний · Первый закон для цикла

Задать вопрос по задаче →