Физтех 2024/25 · Физика · 11 кл., №1 — решение · Отборочный этап

Условие

При движении по прямой в одном направлении с постоянным ускорением автомобиль проходит последовательно два одинаковых отрезка пути. На первом отрезке средняя скорость автомобиля $V_1 = 10$ м/с, на втором отрезке средняя скорость автомобиля $V_2 = 15$ м/с.

Найдите мгновенную скорость $V$ автомобиля на границе между первым и вторым отрезками. Ответ приведите в [м/с] с округлением до целых.

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2024/25

Кажется, что ответ — среднее арифметическое $V_1$ и $V_2$ Проверь: какую часть всего времени автомобиль едет по первому, более медленному отрезку? Ниже можно сверить ответ в м/с.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеАвтомобиль на двух отрезках

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Автомобиль на двух отрезках

Какая скорость на границе отрезков делает ускорение одинаковым на всём пути?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй график скорости — прямую. Средняя скорость на отрезке — это высота графика в середине промежутка времени, а площадь под графиком на каждом промежутке равна длине отрезка s.

Подсказка 1

При постоянном ускорении скорость меняется равномерно, поэтому средняя скорость за промежуток времени равна мгновенной скорости в середине этого промежутка — по времени, а не по пути.

Подсказка 2

Времена отрезков $t_1 = s/V_1$ и $t_2 = s/V_2$ От середины первого промежутка до середины второго проходит $(t_1 + t_2)/2$ и скорость за это время растёт от $V_1$ до $V_2$ А от середины первого промежутка до границы отрезков — ещё $t_1/2$

Разобрать решение по шагам

Средняя скорость — скорость в середине промежутка

При постоянном ускорении скорость растёт линейно со временем, поэтому средняя скорость за промежуток равна полусумме скоростей в его начале и конце — это скорость ровно в середине промежутка времени.

Значит, через $t_1/2$ после начала первого отрезка скорость автомобиля равна $V_1$ а через $t_2/2$ после начала второго — $V_2$ Отрезки одинаковые, а средние скорости разные, поэтому разные и времена:

t_1 = \frac{s}{V_1}, \qquad t_2 = \frac{s}{V_2}.

Ускорение

От середины первого промежутка до середины второго проходит $\dfrac{t_1}{2} + \dfrac{t_2}{2}$ , и за это время скорость растёт от $V_1$ до $V_2$

a = \frac{V_2 - V_1}{(t_1 + t_2)/2} = \frac{2(V_2 - V_1)}{t_1 + t_2}.

Длина отрезка $s$ в условии не дана — она сократится.

Средние скорости — это скорости в серединах промежутков времени; площади под графиком на обоих промежутках равны

s

Скорость на границе

Граница отрезков наступает через $t_1/2$ после середины первого промежутка:

V = V_1 + a\,\frac{t_1}{2} = V_1 + (V_2 - V_1)\,\frac{t_1}{t_1 + t_2}.

Подставим времена: $\dfrac{t_1}{t_1 + t_2} = \dfrac{1/V_1}{1/V_1 + 1/V_2} = \dfrac{V_2}{V_1 + V_2}$ . Тогда

V = V_1 + \frac{(V_2 - V_1)V_2}{V_1 + V_2} = \frac{V_1^2 + V_2^2}{V_1 + V_2} = \frac{100 + 225}{25} = 13 \text{ м/с}.

Это больше среднего арифметического $12{,}5$ м/с: по первому отрезку автомобиль едет дольше, и до границы проходит больше половины всего времени.

Проверка

Проверка: если $V = 13$ м/с, то в начале первого отрезка скорость $2V_1 - V = 7$ м/с, в конце второго $2V_2 - V = 17$ м/с; при $s = 100$ м времена $t_1 = 10$ с и $t_2 = 6{,}67$ с, ускорения на обоих отрезках одинаковы: $0{,}6$ м/с². Независимый расчёт подбирает начальную скорость и ускорение по двум средним скоростям численно и даёт те же 13 м/с. При $V_1 = V_2$ формула даёт $V = V_1$ как и должно быть. Другие версии: ID 3663 — $\dfrac{36 + 144}{18} = 10$ м/с; ID 3664 — $\dfrac{64 + 576}{32} = 20$ м/с; ID 3665 — $\dfrac{225 + 900}{45} = 25$ м/с. В ID 3664 данные противоречат условию: скорость в начале первого отрезка $2 \cdot 8 - 20 = -4$ м/с, то есть автомобиль сначала ехал бы назад. В одну сторону такое движение возможно только при $V_2/V_1 \le 1 + \sqrt2 \approx 2{,}41$ , а здесь $V_2/V_1 = 3$ формула указаний всё равно даёт 20 м/с.

Ответ

$V = \dfrac{V_1^2 + V_2^2}{V_1 + V_2} = 13$ м/с.

Ответ

$V = \dfrac{V_1^2 + V_2^2}{V_1 + V_2} = 13$ м/с.

Главная идея

При постоянном ускорении средняя скорость за промежуток времени равна мгновенной скорости в его середине. Граница равных отрезков — середина пути, а не середина времени: медленный первый отрезок длится дольше, поэтому скорость на границе больше среднего арифметического V₁ и V₂.

Равноускоренное движение и средние скорости на участках — привязать каждую среднюю скорость к моменту в середине своего промежутка времени и найти ускорение по двум таким моментам.

Где легко ошибиться

Ответить средним арифметическим (V₁ + V₂)/2: это скорость в середине всего времени движения, а граница отрезков наступает позже. В ID 3662 12,5 м/с после округления случайно дают те же 13 м/с, но в остальных версиях ошибка видна: 9; 16; 22,5 м/с вместо 10, 20, 25 м/с.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2024/25 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 1, версия с ID 3662 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3663, 3664, 3665) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет); уточнение ниже («Решения Ф11 2 попытка 2024», стр. 1 ↗). В версии ID 3664 данные противоречат словам «в одном направлении»: скорость в начале первого отрезка получается −4 м/с. Формула указаний даёт 20 м/с.

Продолжить тему: Кинематика →

Тема, знания и приёмы

Кинематика · Нужна школьная база

Равноускоренное движение, график скорости
Средняя скорость

Приёмы решения: Среднее и взвешенное среднее · Чтение графика и сопоставление состояний

Задать вопрос по задаче →