Физтех 2024/25 · Физика · 11 кл., №7 — решение · Отборочный этап

Условие

Расстояние между двумя соосными заряженными кольцами $a = 1{,}2$ м (см. рис.). Радиусы колец одинаковы и равны $R = 0{,}8$ м. По кольцам распределены по неизвестному закону неподвижные заряды: $q = 12$ нКл и $-q = -12$ нКл. Точечный заряд $Q = 5$ мкКл медленно перемещают из центра второго кольца в центр первого.

Найдите работу внешней силы над зарядом $Q$ на указанном перемещении. Коэффициент пропорциональности в законе Кулона $k = 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл². Ответ приведите в [мкДж] с округлением до целого числа.

Рисунок к условию

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2024/25

Закон распределения зарядов неизвестен — значит, ответ от него не зависит. Подумай, почему для центров колец это так. Ниже можно сверить ответ в микроджоулях.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеДва заряженных кольца

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Два заряженных кольца

Зависит ли работа по переносу заряда из центра в центр от того, как распределены заряды колец?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй на кольце несколько зарядов как угодно и соедини их с центром своего кольца и с центром другого: какие получаются расстояния? Потенциал — сумма kqᵢ/rᵢ.

Подсказка 1

Работа при медленном переносе заряда определяется только потенциалами начальной и конечной точек. Потенциал — сумма вкладов $kq_i/r_i$ всех зарядов. На каком расстоянии от центра своего кольца лежит любой его заряд? А от центра другого кольца?

Подсказка 2

Любой заряд кольца удалён от его центра на $R$ а от центра другого кольца — на $\sqrt{R^2 + a^2}$ Поэтому $\varphi_1 = \dfrac{kq}{R} - \dfrac{kq}{\sqrt{R^2 + a^2}}$ при любом распределении, а $\varphi_2 = -\varphi_1$ Перенос медленный — работа внешней силы равна изменению потенциальной энергии заряда $Q$

Разобрать решение по шагам

Потенциалы в центрах колец

Потенциал в точке — сумма вкладов $\dfrac{kq_i}{r_i}$ всех зарядов, и вклад зависит только от расстояния. Все заряды кольца 1 удалены от его центра на $R$ поэтому вместе они дают $\dfrac{kq}{R}$ как бы ни были распределены. Все заряды кольца 2 удалены от центра 1 на $\sqrt{R^2 + a^2}$

\varphi_1 = \frac{kq}{R} - \frac{kq}{\sqrt{R^2 + a^2}}.

Для центра второго кольца всё так же, только знаки зарядов поменялись местами: $\varphi_2 = -\dfrac{kq}{R} + \dfrac{kq}{\sqrt{R^2 + a^2}} = -\varphi_1$ .

Как бы ни лежали заряды на кольце, до центра своего кольца каждый удалён на

R

а до центра другого — на

\sqrt{R^2 + a^2}

Работа внешней силы

Перенос медленный: кинетическая энергия заряда не меняется, и внешняя сила совершает работу, равную изменению его потенциальной энергии:

A = Q\varphi_1 - Q\varphi_2 = 2Q\varphi_1 = 2kqQ\left(\frac1R - \frac{1}{\sqrt{R^2 + a^2}}\right).

На оси потенциал от распределения зарядов не зависит ни в одной точке, не только в центрах: все заряды кольца удалены от точки оси на одно и то же расстояние, и на всём пути $\varphi(z) = \dfrac{kq}{\sqrt{R^2 + z^2}} - \dfrac{kq}{\sqrt{R^2 + (a - z)^2}}$ . От распределения могут зависеть потенциал вне оси и поперечная составляющая силы — поэтому заряд ведут медленно, удерживая его на оси; работа внешней силы при этом всё равно определяется только потенциалами начала и конца пути. Знак плюс: положительный заряд $Q$ переносят к положительно заряженному кольцу.

Ответ

$\sqrt{R^2 + a^2} = \sqrt{0{,}64 + 1{,}44} \approx 1{,}442$ м:

2kqQ = 2 \cdot 9 \cdot 10^9 \cdot 12 \cdot 10^{-9} \cdot 5 \cdot 10^{-6} = 1{,}08 \cdot 10^{-3}\ \text{Дж}\cdot\text{м},

\frac{1}{0{,}8} - \frac{1}{1{,}442} \approx 0{,}5565\ \text{м}^{-1},

A \approx 1{,}08 \cdot 10^{-3} \cdot 0{,}5565 \approx 6{,}01 \cdot 10^{-4} \text{ Дж} \approx 601 \text{ мкДж}.

Проверка

Проверка: сумма потенциалов точечных зарядов, разбросанных по кольцам по случайным законам (независимый расчёт), даёт в центрах колец одни и те же потенциалы и работу $601{,}15$ мкДж при любом законе; вне оси потенциал от закона зависит. Предельные случаи: при очень далёких кольцах ( $a \gg R$ ) $A \to \dfrac{2kqQ}{R}$ при $a \to 0$ центры колец сливаются в одну точку — начало и конец пути совпадают, их потенциалы равны, и $A \to 0$ (сами распределения $+q$ и $-q$ при этом компенсироваться не обязаны: вне оси их поле может остаться). Другие версии: ID 3687 — $\approx 808{,}3 \approx 808$ мкДж; ID 3688 — $\approx 374{,}1 \approx 374$ мкДж; ID 3689 — $\approx 253{,}8 \approx 254$ мкДж.

Ответ

$A = 2kqQ\left(\dfrac1R - \dfrac{1}{\sqrt{R^2 + a^2}}\right) \approx 601$ мкДж.

Ответ

$A = 2kqQ\left(\dfrac1R - \dfrac{1}{\sqrt{R^2 + a^2}}\right) \approx 601$ мкДж.

Главная идея

Потенциал на оси кольца (в частности, в центре) не зависит от того, как заряды распределены по кольцу: каждый заряд удалён от точки оси на одно расстояние — от центра своего кольца на R, от центра другого — на √(R² + a²). Вне оси потенциал от распределения зависит, но работа при медленном переносе зависит только от потенциалов начала и конца: A = Q(φ₁ − φ₂) = 2Qφ₁.

«Заряды распределены по неизвестному закону» — искать точки, все заряды которых на одинаковом расстоянии (центр кольца или сферы), и считать работу через потенциалы, а не через силы.

Где легко ошибиться

Взять работу Qφ₁, забыв, что в начальной точке потенциал не ноль (φ₂ = −φ₁): получится вдвое меньше, около 301 мкДж. Или учесть только «своё» кольцо: 2kqQ/R = 1350 мкДж — заряды другого кольца тоже дают вклад в потенциал.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2024/25 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 7, версия с ID 3686 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3687, 3688, 3689) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 14) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф11 2 попытка 2024», стр. 3 ↗).

Продолжить тему: Электростатика →

Тема, знания и приёмы

Электростатика · Начальный вход

Потенциал точечного заряда, принцип суперпозиции
Работа электрического поля и потенциальная энергия заряда

Приёмы решения: Симметрия и попарное соответствие · Закон сохранения энергии

Задать вопрос по задаче →