Физтех 2024/25 · Физика · 11 кл., №10 — решение · Отборочный этап

Условие

Вблизи центра квадратной однородно заряженной диэлектрической пластины удерживают заряженный шарик. Заряды пластины и шарика одного знака. Шарик отпускают, на большом расстоянии от пластины шарик движется со скоростью $V_1 = 14{,}1$ м/с. Пластина закреплена, заряд на пластине не перемещается. Эффект поляризации и действие силы тяжести считайте пренебрежимо малыми.

С какой по величине скоростью $V_2$ будет двигаться шарик на большом расстоянии от пластины при переносе точки старта в любую вершину квадрата? Ответ приведите в [м/с] с округлением до целого числа.

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2024/25

Считать потенциал квадратной пластины интегралом не обязательно: нужен только ответ на вопрос, во сколько раз потенциал в вершине меньше, чем в центре. Ниже можно сверить ответ в м/с.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеЗаряженная пластина

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Заряженная пластина

Во сколько раз потенциал пластины в вершине меньше, чем в центре, и с какой скоростью улетит шарик из вершины?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Разрежь квадрат на четыре одинаковых квадрата: центр большого — их общая вершина. Затем подумай, как меняется потенциал пластины, если все её размеры увеличить вдвое.

Подсказка 1

Пластина закреплена, поэтому энергия шарика сохраняется: $Q\varphi_\text{старт} = \dfrac{mV^2}{2}$ вдали от пластины. Скорость пропорциональна корню из потенциала точки старта — нужно только отношение потенциалов в вершине и в центре.

Подсказка 2

Разрежь квадрат со стороной $2a$ на четыре квадрата со стороной $a$ центр большого — их общая вершина. А как изменится потенциал в вершине, если все размеры пластины увеличить вдвое при той же плотности заряда?

Разобрать решение по шагам

Энергия: скорость — корень из потенциала

Пластина закреплена, заряды на ней не смещаются, тяжести и поляризации нет. Поэтому шарик с зарядом $Q$ разгоняется только полем пластины, и его энергия сохраняется: потенциальная энергия в точке старта целиком переходит в кинетическую вдали от пластины, где потенциал равен нулю:

Q\varphi_\text{старт} = \frac{mV^2}{2}, \qquad V \propto \sqrt{\varphi_\text{старт}}.

«Вблизи центра» — потенциал непрерывен, берём его значение в центре.

Четыре четверти сходятся в центре

Пусть сторона пластины $2a$ Разрежем её на четыре квадрата со стороной $a$ Центр большого квадрата — общая вершина всех четырёх, и каждый даёт в ней одинаковый потенциал $\varphi_\text{в}(a)$ По принципу суперпозиции

\varphi_\text{центр}(2a) = 4\varphi_\text{в}(a).

Вдвое больше пластина — вдвое больше потенциал

Потенциал — сумма вкладов $\dfrac{k\sigma\,\Delta S}{r}$ маленьких кусочков пластины. Увеличим все размеры пластины вдвое при той же плотности заряда $\sigma$ площадь каждого кусочка вырастет в 4 раза, а расстояние до соответствующей точки (например, до вершины) — в 2 раза. Каждый вклад, а с ним и потенциал, удвоится:

\varphi_\text{в}(2a) = 2\varphi_\text{в}(a) = 2 \cdot \frac{\varphi_\text{центр}(2a)}{4} = \frac{\varphi_\text{центр}(2a)}{2}.

В любой вершине квадрата потенциал вдвое меньше, чем в центре.

Центр пластины — общая вершина четырёх четвертей; если все размеры увеличить вдвое, потенциал в соответствующей точке удвоится. Вместе: в вершине потенциал вдвое меньше, чем в центре.

Ответ

\frac{V_2}{V_1} = \sqrt{\frac{\varphi_\text{в}}{\varphi_\text{центр}}} = \frac{1}{\sqrt2},

V_2 = \frac{14{,}1}{\sqrt2} \approx 9{,}97 \text{ м/с} \approx 10 \text{ м/с}.

Проверка

Проверка: потенциал однородно заряженного квадрата, найденный численным интегрированием в полярных координатах вокруг точки (независимый расчёт), в вершине равен половине потенциала в центре с точностью расчёта (отношение $0{,}5000$ ); то же даёт точная формула потенциала прямоугольника, которой пользуется модель. Другие версии: ID 3699 — $28{,}2/\sqrt2 \approx 19{,}94 \approx 20$ м/с; ID 3700 — $56{,}4/\sqrt2 \approx 39{,}88 \approx 40$ м/с; ID 3701 — $98{,}7/\sqrt2 \approx 69{,}79 \approx 70$ м/с.

Ответ

$V_2 = \dfrac{V_1}{\sqrt2} \approx 9{,}97$ м/с $\approx 10$ м/с.

Ответ

$V_2 = \dfrac{V_1}{\sqrt2} \approx 9{,}97$ м/с $\approx 10$ м/с.

Главная идея

Энергия даёт V ∝ √φ. Отношение потенциалов находится без интеграла: центр квадрата — общая вершина четырёх вдвое меньших квадратов (φ_центр(2a) = 4φ_в(a)), а потенциал пластины при увеличении всех размеров вдвое удваивается (φ_в(2a) = 2φ_в(a)). Значит, в вершине потенциал вдвое меньше, и V₂ = V₁/√2.

Потенциал фигуры в «неудобной» точке — разрезать фигуру на подобные части, которые сходятся в этой точке, и использовать масштабирование: потенциал равномерно заряженной пластины пропорционален её размеру.

Где легко ошибиться

Поделить скорость вместо энергии: V₂ = V₁/2 ≈ 7 м/с — скорость пропорциональна не потенциалу, а корню из него. Другая ошибка — решить, что в вершине потенциал вчетверо меньше (вершина — угол лишь одной четверти): большой квадрат вдвое больше четверти, и его потенциал в вершине вдвое больше.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2024/25 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 10, версия с ID 3698 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3699, 3700, 3701) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 20) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф11 2 попытка 2024», стр. 4 ↗).

Продолжить тему: Электростатика →

Тема, знания и приёмы

Электростатика · Продвинутая подготовка

Потенциал, принцип суперпозиции
Закон сохранения энергии для заряда в электрическом поле
Подобие фигур

Приёмы решения: Симметрия и попарное соответствие · Закон сохранения энергии

Задать вопрос по задаче →