Физтех 2024/25 · Физика · 11 кл., №8 — решение · Отборочный этап

Условие

В первом опыте амперметр и вольтметр, соединенные последовательно, подключили к батарейке, показания приборов $I_1 = 0{,}5$ А, $U_1 = 45$ В. Во втором опыте эти же приборы, соединенные параллельно, подключили к этой же батарейке, показания приборов $I_2 = 3{,}4$ А, $U_2 = 17$ В.

Найдите ток $I_0 = \dfrac{\mathcal E}{r}$ короткого замыкания батарейки, здесь $\mathcal E$ ‒ ЭДС батарейки, $r$ ‒ её внутреннее сопротивление. Ответ приведите в [А] с округлением до десятых.

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2024/25

Если бы приборы были идеальными, в первом опыте ток через вольтметр был бы нулевым. Значит, у обоих приборов есть сопротивления — что о них говорят показания? Ниже можно сверить ответ в амперах.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеАмперметр и вольтметр на батарейке

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Амперметр и вольтметр на батарейке

Какая батарейка даст такие показания приборов в обоих опытах?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Найди сопротивление вольтметра из первого опыта (через него идёт ток I₁), амперметра — из второго (на нём напряжение U₂). Потом запиши закон Ома для полной цепи для каждого опыта.

Подсказка 1

Приборы показывают величины, относящиеся к ним самим: амперметр — ток через себя, вольтметр — напряжение на себе. В первом опыте через вольтметр идёт ток $I_1$ во втором на амперметре напряжение $U_2$ Найди сопротивления $R_V$ и $R_A$

Подсказка 2

$R_V = U_1/I_1$ $R_A = U_2/I_2$ Запиши закон Ома для полной цепи в обоих опытах. Во втором опыте батарейка даёт ток обеих ветвей: $I_2 + U_2/R_V$ а напряжение на её зажимах равно $U_2$ Два уравнения — две неизвестные $\mathcal E$ и $r$

Разобрать решение по шагам

Сопротивления приборов

Приборы неидеальные: иначе в первом опыте ток через вольтметр был бы нулевым. Вольтметр показывает напряжение на самом себе, амперметр — ток через себя.

В первом опыте через вольтметр идёт тот же ток $I_1$ $R_V = \dfrac{U_1}{I_1} = \dfrac{45}{0{,}5} = 90$ Ом. Во втором опыте приборы соединены параллельно, на амперметре то же напряжение $U_2$ $R_A = \dfrac{U_2}{I_2} = \dfrac{17}{3{,}4} = 5$ Ом.

В первом опыте ток

I_1

общий для всей цепи; во втором через батарейку идёт сумма токов двух ветвей, а амперметр показывает только свою.

Закон Ома для полной цепи в двух опытах

Первый опыт — один контур с током $I_1$

\mathcal E = I_1(R_V + R_A + r) = U_1 + I_1R_A + I_1r = 47{,}5 + 0{,}5r.

Второй опыт: амперметр показывает ток только своей ветви, через вольтметр идёт ещё $U_2/R_V$ а батарейка даёт их сумму; напряжение на её зажимах $U_2$

\mathcal E = U_2 + \left(I_2 + \frac{U_2}{R_V}\right)r = 17 + \left(3{,}4 + \frac{17}{90}\right)r \approx 17 + 3{,}589r.

Ответ

Приравняем: $47{,}5 + 0{,}5r = 17 + 3{,}589r$ , откуда $r \approx 9{,}874$ Ом и $\mathcal E \approx 47{,}5 + 4{,}937 \approx 52{,}44$ В.

I_0 = \frac{\mathcal E}{r} \approx \frac{52{,}44}{9{,}874} \approx 5{,}31 \text{ А} \approx 5{,}3 \text{ А}.

Проверка

Проверка: батарейка с $\mathcal E = 52{,}44$ В и $r = 9{,}874$ Ом с приборами $R_V = 90$ Ом и $R_A = 5$ Ом даёт все четыре показания условия: $0{,}5$ А и $45$ В последовательно, $3{,}4$ А и $17$ В параллельно. Независимый путь: величина $1/I_\text{бат}$ линейно зависит от внешнего сопротивления, $\dfrac{1}{I_\text{бат}} = \dfrac{R + r}{\mathcal E}$ ; две точки — $R_V + R_A = 95$ Ом и $R_V R_A/(R_V + R_A)$ — дают прямую, её значение при $R = 0$ и есть $1/I_0$ Другие версии: ID 3691 — $R_V = 60$ Ом, $R_A \approx 1{,}957$ Ом, $I_0 \approx 3{,}04 \approx 3{,}0$ А; ID 3692 — $R_V = 74$ Ом, $R_A = 3$ Ом, $I_0 \approx 8{,}20 \approx 8{,}2$ А; ID 3693 — $R_V \approx 88{,}9$ Ом, $R_A \approx 4{,}14$ Ом, $I_0 \approx 10{,}73 \approx 10{,}7$ А.

Ответ

$I_0 = \dfrac{\mathcal E}{r} \approx 5{,}3$ А ( $r \approx 9{,}87$ Ом, $\mathcal E \approx 52{,}4$ В).

Ответ

$I_0 = \dfrac{\mathcal E}{r} \approx 5{,}3$ А ( $r \approx 9{,}87$ Ом, $\mathcal E \approx 52{,}4$ В).

Главная идея

Неидеальные приборы показывают величины, относящиеся к ним самим: из последовательного опыта находится сопротивление вольтметра, из параллельного — амперметра. Дальше два уравнения закона Ома для полной цепи; во втором опыте батарейка даёт ток обеих ветвей, а не только показание амперметра.

Одни и те же приборы в двух схемах с одной батарейкой — сначала сопротивления приборов из их собственных показаний, потом два уравнения закона Ома для полной цепи на ℰ и r.

Где легко ошибиться

Считать показание амперметра во втором опыте током батарейки: ℰ = U₂ + I₂r даёт 5,0 А вместо 5,3 А (в других версиях 2,9; 7,9; 10,2 А вместо 3,0; 8,2; 10,7 А). Через вольтметр тоже идёт ток U₂/R_V. Другая ошибка — считать приборы идеальными: тогда первый опыт невозможен.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2024/25 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 8, версия с ID 3690 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3691, 3692, 3693) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 17) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф11 2 попытка 2024», стр. 3 ↗).

Продолжить тему: Электрические цепи →

Тема, знания и приёмы

Электрические цепи · Начальный вход

Закон Ома для полной цепи
Последовательное и параллельное соединение
Сопротивление амперметра и вольтметра

Приёмы решения: Узлы и эквивалентная цепь

Задать вопрос по задаче →