Физика · 11 класс · Физтех 2024/25 · второй тур

Задача 4. Ракета с полюса: работа силы тяжести

Условие

Ракета стартует с Северного полюса Земли и после короткой работы двигатели выключаются. Перемещение ракеты за время работы двигателей пренебрежимо мало по сравнению с радиусом Земли. Далее ракета поднимается на максимальную высоту h=1,9⋅Rh = 1{,}9 \cdot R, здесь R=6400R = 6400 км ‒ радиус Земли. Движение ракеты прямолинейное. Масса ракеты после выключения двигателей m=1000m = 1000 кг.

Найдите работу силы тяжести на перемещении от момента выключения двигателей до момента остановки на максимальной высоте. Ускорение свободного падения у поверхности планеты g=10g = 10 м/с². Действие сил сопротивления воздуха считайте пренебрежимо малым. Ответ приведите в [ГДж] с округлением до целых.

О задаче · 11 класс
Олимпиада
Физтех (МФТИ)
Этап
Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс
Физика · 11 класс
Сезон
2024/25

Высота почти в два радиуса Земли: годится ли здесь привычное mghmgh? И помни о знаке: ракета летит вверх, а сила тяжести направлена вниз. Ниже можно сверить ответ в гигаджоулях (со знаком).

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеРакета с полюса

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Ракета с полюса

Какую работу совершит сила тяжести, пока ракета поднимается на высоту 1,9R?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй график силы тяжести F = mgR²/r² от расстояния до центра Земли: работа — площадь под ним от R до R + h. Её проще найти через потенциальную энергию −GMm/r.

Подсказка 1

Сила тяжести убывает с расстоянием до центра Земли как 1/r21/r^2: на высоте 1,9R1{,}9R она почти в девять раз меньше, чем у поверхности, поэтому mghmgh не годится. Работу удобно найти через потенциальную энергию тяготения −GMmr-\dfrac{GMm}{r}.

Подсказка 2

У поверхности сила тяжести равна mgmg, отсюда GM=gR2GM = gR^2. Работа силы тяжести равна убыли потенциальной энергии: A=Π(R)−Π(R+h)A = \Pi(R) - \Pi(R + h). Двигатели выключаются практически у поверхности, на расстоянии RR от центра.

Разобрать решение по шагам
1

Сила тяжести убывает с высотой

Старт с полюса: у ракеты нет скорости вращения Земли, и она летит по прямой вдоль радиуса. Двигатели работают недолго и выключаются практически у поверхности — на расстоянии RR от центра Земли. Дальше на ракету действует только сила тяжести

F=GMmr2=mgR2r2,F = \frac{GMm}{r^2} = \frac{mgR^2}{r^2},

потому что у поверхности (r=Rr = R) она равна mgmg: GM=gR2GM = gR^2. На высоте h=1,9Rh = 1{,}9R сила в 2,92≈8,42{,}9^2 \approx 8{,}4 раза меньше mgmg, поэтому считать работу как mghmgh нельзя.

2

Работа через потенциальную энергию

Потенциальная энергия ракеты в поле тяготения Земли (ноль на бесконечности) Π(r)=−GMmr=−mgR2r\Pi(r) = -\dfrac{GMm}{r} = -\dfrac{mgR^2}{r}. Работа силы тяжести равна убыли потенциальной энергии:

A=Π(R)−Π(R+h)=−mgR+mgR2R+h=−mgR hR+h.A = \Pi(R) - \Pi(R + h) = -mgR + \frac{mgR^2}{R + h} = -mgR\,\frac{h}{R + h}.

Знак минус: сила направлена вниз, а ракета движется вверх. Модуль работы — площадь под графиком F(r)F(r) от RR до R+hR + h.

rFmgRR + h = 2,9Rmg/2,9² ≈ 0,12mgплощадь = |A||A| = mgR·h/(R + h)≈ 41,9 ГДжmgh = 121,6 ГДж — если бы сила не убывалаF = mgR²/r²
Модуль работы — площадь под графиком силы F=mgR2/r2F = mgR^2/r^2; прямоугольник mghmgh втрое больше, потому что сила на высоте сильно убывает.
3

Ответ

mgR=1000⋅10⋅6,4⋅106=6,4⋅1010mgR = 1000 \cdot 10 \cdot 6{,}4 \cdot 10^6 = 6{,}4 \cdot 10^{10} Дж =64= 64 ГДж, hR+h=1,92,9\dfrac{h}{R + h} = \dfrac{1{,}9}{2{,}9}:

A=−64⋅1,92,9≈−41,93 ГДж≈−42 ГДж.A = -64 \cdot \frac{1{,}9}{2{,}9} \approx -41{,}93 \text{ ГДж} \approx -42 \text{ ГДж}.

Столько кинетической энергии ракета имела в момент выключения двигателей: к наибольшей высоте вся она израсходована.

Проверка

Проверка: численное интегрирование полёта (метод Рунге — Кутты) с подобранной начальной скоростью ракета останавливается на высоте 1,9R1{,}9R, а её начальная кинетическая энергия равна 41,9341{,}93 ГДж — это и есть −A-A. При малой высоте (h≪Rh \ll R) формула переходит в привычную A=−mghA = -mgh; постоянная сила mgmg дала бы в 1+h/R=2,91 + h/R = 2{,}9 раза больше. Другие версии: ID 3675 — −76,8⋅2,13,1≈−52,03≈−52-76{,}8 \cdot \dfrac{2{,}1}{3{,}1} \approx -52{,}03 \approx -52 ГДж; ID 3676 — −25,6⋅3,84,8≈−20,27≈−20-25{,}6 \cdot \dfrac{3{,}8}{4{,}8} \approx -20{,}27 \approx -20 ГДж; ID 3677 — −38,4⋅2,13,1≈−26,01≈−26-38{,}4 \cdot \dfrac{2{,}1}{3{,}1} \approx -26{,}01 \approx -26 ГДж. Если в ответе ждут модуль работы, это 42, 52, 20 и 26 ГДж.

Ответ

A=−mgR hR+h≈−41,9A = -mgR\,\dfrac{h}{R + h} \approx -41{,}9 ГДж ≈−42\approx -42 ГДж (модуль 42 ГДж).

Ответ

A=−mgR hR+h≈−41,9A = -mgR\,\dfrac{h}{R + h} \approx -41{,}9 ГДж ≈−42\approx -42 ГДж (модуль 42 ГДж).

Главная идея

На высотах порядка радиуса Земли сила тяжести заметно убывает, поэтому mgh не годится. Работу находят через потенциальную энергию тяготения −GMm/r, где GM = gR²: A = Π(R) − Π(R + h) = −mgR·h/(R + h). Работа отрицательна: ракета поднимается против силы тяжести.

Подъём на высоту, сравнимую с радиусом планеты, — потенциальная энергия −GMm/r и GM = gR² вместо mgh.

Где легко ошибиться

Считать силу тяжести постоянной: A = −mgh = −121,6 ГДж — в 2,9 раза больше по модулю. Другая ошибка — потерять знак: сила тяжести направлена против перемещения, её работа отрицательна.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2024/25 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 4, версия с ID 3674 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3675, 3676, 3677) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 7) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет); уточнение ниже («Решения Ф11 2 попытка 2024», стр. 2 ↗). Формула указаний даёт отрицательную работу, ответ записан со знаком минус. Принимает ли форма ответа олимпиады модуль (42 ГДж), неизвестно.

Продолжить тему: Энергия и импульс →
Тема, знания и приёмы

Энергия и импульс · Нужна школьная база

  • Закон всемирного тяготения
  • Потенциальная энергия тяготения
  • Работа силы, теорема о кинетической энергии

Приёмы решения: Закон сохранения энергии

Задать вопрос по задаче →
Увеличенный рисунок