Физтех 2024/25 · Физика · 11 кл., №3 — решение · Отборочный этап

Условие

На шарик, подвешенный в поле тяжести Земли на легком тонком стержне, дует слабый горизонтальный ветер. Поток воздуха действует на шарик с постоянной по величине и направлению горизонтальной силой. В положении равновесия стержень составляет с вертикалью угол $\alpha = 40^\circ$ (см. рис.).

Найдите период $T_1$ малых колебаний маятника относительно этого положения равновесия, если при отсутствии ветрового потока период малых колебаний маятника равен $T_0 = 1{,}6$ с. Считайте, что в покое и в процессе малых колебаний сила, действующая на шарик со стороны потока воздуха, не изменяется. Ответ приведите в [с] с округлением до десятых.

Рисунок к условию

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2024/25

Как ты думаешь: на ветру маятник станет качаться быстрее, медленнее или так же? Ниже можно сверить ответ в секундах.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеМаятник на ветру

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Маятник на ветру

Какой маятник качается быстрее — на ветру или без ветра, и во сколько раз?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Сложи силу тяжести и постоянную силу ветра: их сумма постоянна и направлена вдоль стержня в равновесии. Маятник качается в этом «новом» поле — подставь его ускорение в формулу периода.

Подсказка 1

Сила ветра постоянна по величине и направлению — так же, как сила тяжести. Сложи эти две силы: получится одна постоянная сила. Куда она направлена, когда шарик в равновесии?

Подсказка 2

В равновесии сумма $mg$ и силы ветра направлена вдоль стержня и равна $\dfrac{mg}{\cos\alpha}$ Для шарика это та же «тяжесть», только с ускорением $g' = \dfrac{g}{\cos\alpha}$ . Вспомни, как период маятника зависит от $g$

Разобрать решение по шагам

Ветер и тяжесть — одна «новая тяжесть»

В равновесии стержень направлен вдоль суммы сил тяжести и ветра (иначе сумма сил, приложенных к шарику, имела бы составляющую поперёк стержня). Отсюда сила ветра $F_\text{в} = mg\,\mathrm{tg}\,\alpha$ , а их сумма

F = \sqrt{(mg)^2 + F_\text{в}^2} = \frac{mg}{\cos\alpha}.

Обе силы постоянны, значит, и их сумма постоянна по величине и направлению. Для шарика она ничем не отличается от силы тяжести в поле с ускорением $g' = \dfrac{g}{\cos\alpha}$ , направленным вдоль стержня в положении равновесия.

Сумма силы тяжести и силы ветра постоянна и направлена вдоль стержня в равновесии — это «новая тяжесть» с ускорением

g/\cos\alpha

Период в «новом» поле

Период малых колебаний маятника в постоянном поле $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ — нужно лишь подставить ускорение этого поля. Без ветра $T_0 = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$ , на ветру

T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g'}} = 2\pi\sqrt{\frac{L\cos\alpha}{g}} = T_0\sqrt{\cos\alpha}.

На ветру «тяжесть» сильнее, поэтому маятник качается быстрее.

Ответ

T_1 = 1{,}6 \cdot \sqrt{\cos 40^\circ} = 1{,}6 \cdot \sqrt{0{,}766} \approx 1{,}6 \cdot 0{,}875 \approx 1{,}40 \text{ с} \approx 1{,}4 \text{ с}.

Проверка

Проверка: численное интегрирование уравнения движения маятника на ветру (метод Рунге — Кутты) даёт положение равновесия ровно под углом $\alpha$ и период малых колебаний $1{,}4004$ с; без ветра — $1{,}6$ с. При $\alpha \to 0$ формула даёт $T_1 = T_0$ как и должно быть. Другие версии: ID 3671 — $1{,}2\sqrt{\cos 30^\circ} \approx 1{,}117 \approx 1{,}1$ с; ID 3672 — $1{,}0\sqrt{\cos 35^\circ} \approx 0{,}905 \approx 0{,}9$ с; ID 3673 — $2{,}0\sqrt{\cos 25^\circ} \approx 1{,}904 \approx 1{,}9$ с.

Ответ

$T_1 = T_0\sqrt{\cos\alpha} \approx 1{,}4$ с.

Ответ

$T_1 = T_0\sqrt{\cos\alpha} \approx 1{,}4$ с.

Главная идея

Постоянная сила ветра вместе с тяжестью действует как одна «усиленная тяжесть» с ускорением g/cos α, направленная вдоль стержня в равновесии. Около нового положения равновесия маятник качается так же, как в поле с этим ускорением, — быстрее: T₁ = T₀√cos α.

На маятник кроме тяжести действует ещё одна постоянная сила (ветер, электрическое поле, ускорение вагона) — сложить их в эффективное ускорение свободного падения и подставить его в формулу периода.

Где легко ошибиться

Перепутать, во сколько раз и в какую сторону меняется период: T₀/√cos α ≈ 1,8 с (как будто тяжесть ослабла) или T₀ cos α ≈ 1,2 с (лишний квадрат). Правильно T₀√cos α ≈ 1,4 с: эффективное ускорение больше g в 1/cos α раз, а период обратно пропорционален корню из него.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2024/25 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 3, версия с ID 3670 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3671, 3672, 3673) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 4) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф11 2 попытка 2024», стр. 2 ↗).

Продолжить тему: Механические колебания →

Тема, знания и приёмы

Механические колебания · Нужна школьная база

Период математического маятника
Сложение сил, равновесие

Приёмы решения: Уравнение сил

Задать вопрос по задаче →