Физтех 2024/25 · Физика · 11 кл., №9 — решение · Отборочный этап

Условие

Верхний конец однородного проводящего стержня массы $m = 0{,}1$ кг и длины $L = 0{,}5$ м закреплен в шарнире (см. рис.). На расстоянии $h = 0{,}4$ м от шарнира закреплена горизонтальная проводящая рейка, с которой стержень находится в электрическом контакте. Шарнир, стержень и рейка расположены в вертикальной плоскости. Линии индукции однородного магнитного поля перпендикулярны этой плоскости, модуль вектора индукции $B = 0{,}1$ Тл. По стержню и рейке течет постоянный ток, стержень находится в покое, при этом стержень образует с вертикалью угол $\alpha$ такой, что $\sin\alpha = 0{,}32$ Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с².

Найдите силу тока. Считайте, что сила Ампера, действующая на стержень, обусловлена взаимодействием только с заданным в условии магнитным полем. Действие сил трения считайте пренебрежимо малым. Ответ приведите в [А] с округлением до целого числа.

Рисунок к условию

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2024/25

Стержень может только поворачиваться вокруг шарнира. Подумай, по какой части стержня течёт ток и какие силы его поворачивают. Ниже можно сверить ответ в амперах.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеСтержень, рейка и магнит

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Стержень, рейка и магнит

Какой ток нужен, чтобы стержень покоился под углом α к вертикали?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Отметь участок стержня от шарнира до рейки — только по нему течёт ток. Приложи силу Ампера к его середине и сравни моменты сил относительно шарнира.

Подсказка 1

Ток идёт по стержню только от шарнира до точки контакта с рейкой. Какова длина этого участка и куда приложена сила Ампера, действующая на него?

Подсказка 2

Участок с током имеет длину $l = h/\cos\alpha$ сила Ампера $IBl$ перпендикулярна стержню и приложена к середине участка. Запиши равенство моментов относительно шарнира: $IBl \cdot \dfrac l2 = mg\,\dfrac L2\sin\alpha$ .

Разобрать решение по шагам

Где течёт ток

Ток идёт между шарниром и рейкой, то есть по стержню только от шарнира до точки контакта; часть ниже рейки тока не несёт. Длина участка с током

l = \frac{h}{\cos\alpha} = \frac{0{,}4}{\sqrt{1 - 0{,}32^2}} \approx 0{,}422 \text{ м} < L,

так что стержень до рейки достаёт. На прямой участок с током в однородном поле, перпендикулярном ему, действует сила Ампера $F = IBl$ Она перпендикулярна стержню и распределена по участку равномерно — её можно приложить к середине участка, на расстоянии $l/2$ от шарнира.

Моменты относительно шарнира

Сила реакции шарнира момента не создаёт. Рейка касается стержня без трения и может давить на него только поперёк плоскости рисунка — момента относительно оси шарнира у этой силы тоже нет. Остаются две силы: сила тяжести $mg$ в середине стержня с плечом $\dfrac L2\sin\alpha$ и сила Ампера с плечом $\dfrac l2$ (она перпендикулярна стержню). Чтобы сила Ампера отклоняла стержень от вертикали, при поле «к нам» ток должен идти вверх по стержню — от рейки к шарниру. Равновесие:

IBl\cdot\frac l2 = mg\,\frac L2\sin\alpha,

откуда

I = \frac{mgL\sin\alpha}{Bl^2} = \frac{mgL\sin\alpha\cos^2\alpha}{Bh^2}.

Сила Ампера действует только на участок от шарнира до рейки и приложена к его середине; её момент уравновешивает момент силы тяжести.

Ответ

$\cos^2\alpha = 1 - 0{,}32^2 = 0{,}8976$ :

I = \frac{0{,}1 \cdot 10 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}32 \cdot 0{,}8976}{0{,}1 \cdot 0{,}4^2} \approx 8{,}98 \text{ А} \approx 9 \text{ А}.

Проверка

Проверка: сумма моментов по малым кусочкам стержня с подбором тока делением отрезка пополам даёт $8{,}976$ А. Положение устойчиво: при $\sin^2\alpha < 1/3$ момент силы тяжести растёт с углом быстрее момента силы Ампера, и отклонённый стержень возвращается — в модели видны затухающие колебания около угла $\alpha$ так во всех версиях. Другие версии: ID 3434 —

\dfrac{0{,}2 \cdot 10 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}91}{0{,}6 \cdot 0{,}3^2} \approx 4{,}04 \to 4

А; ID 3435 —

\dfrac{0{,}4 \cdot 10 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}36 \cdot 0{,}8704}{0{,}5 \cdot 0{,}5^2} \approx 6{,}02 \to 6

А; ID 3436 —

\dfrac{0{,}8 \cdot 10 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}49 \cdot 0{,}7599}{0{,}6 \cdot 0{,}6^2} \approx 11{,}03 \to 11

А.

Ответ

$I = \dfrac{mgL\sin\alpha\cos^2\alpha}{Bh^2} \approx 9$ А.

Ответ

$I = \dfrac{mgL\sin\alpha\cos^2\alpha}{Bh^2} \approx 9$ А.

Главная идея

Ток течёт только по участку стержня от шарнира до рейки, l = h/cos α. Сила Ампера IBl перпендикулярна стержню и приложена к середине этого участка; её момент IBl²/2 уравновешивает момент силы тяжести mg(L/2) sin α.

Проводник с током на шарнире в магнитном поле — найти, по какому участку идёт ток, приложить силу Ампера к его середине и записать равенство моментов относительно шарнира.

Где легко ошибиться

Считать, что ток течёт по всему стержню: получится mg sin α/(BL) = 6,4 А; взять верную длину l, но приложить силу к середине всего стержня: mg sin α/(Bl) ≈ 7,6 А; взять плечо силы Ампера с sin α, как у силы тяжести, хотя она перпендикулярна стержню.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2024/25 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 9, версия с ID 3433 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3434, 3435, 3436) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 20) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф11 1 попытка 2024», стр. 2–3 ↗).

Продолжить тему: Равновесие и моменты →

Тема, знания и приёмы

Равновесие и моменты · Начальный вход

Сила Ампера
Момент силы, равновесие тела с осью вращения
Тригонометрия прямоугольного треугольника

Приёмы решения: Баланс моментов сил · Уравнение сил

Задать вопрос по задаче →