Физтех 2024/25 · Физика · 11 кл., №6 — решение · Отборочный этап

Условие

Два протона в некоторый момент времени находятся на расстоянии $L = 3$ см друг от друга и движутся с одинаковыми по модулю скоростями $\vec v_1$ и $\vec v_2$ составляющими угол $\alpha = 45^\circ$ с прямой, проходящей в этот момент через заряды (см. рис.). Потенциальная энергия кулоновского взаимодействия протонов равна суммарной кинетической энергии частиц в этот момент времени.

Найдите наименьшее расстояние между протонами в процессе дальнейшего движения. Скорости частиц малы по сравнению со скоростью электромагнитных волн в вакууме. Действие всех сил кроме кулоновских считайте пренебрежимо малым. Ответ приведите в [см] с округлением до целого числа.

Рисунок к условию

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2024/25

Протоны летят навстречу друг другу и одновременно «вверх». Подумай, какая часть их движения не меняется из-за отталкивания и что происходит в момент наибольшего сближения. Ниже можно сверить ответ в сантиметрах.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеДва протона

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Два протона

На какое наименьшее расстояние сблизятся протоны?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Разложи скорости протонов вдоль прямой и перпендикулярно ей и посмотри на движение из системы центра масс: что в ней происходит в момент наибольшего сближения?

Подсказка 1

Разложи скорости на составляющие вдоль прямой, соединяющей протоны, и перпендикулярно ей. Внешних сил нет. Что тогда можно сказать о скорости центра масс?

Подсказка 2

Перпендикулярные составляющие $v\sin\alpha$ у протонов одинаковы — это скорость центра масс, и она не меняется. В системе центра масс протоны летят навстречу по одной прямой со скоростями $v\cos\alpha$ и в момент наибольшего сближения останавливаются. Запиши закон сохранения энергии в этой системе.

Разобрать решение по шагам

Центр масс и встречное движение

Разложим скорости. Вдоль прямой, соединяющей протоны, — $v\cos\alpha$ навстречу друг другу, перпендикулярно ей — $v\sin\alpha$ у обоих в одну сторону. Общая составляющая — скорость центра масс; внешних сил нет, и она не меняется.

В системе центра масс протоны летят навстречу по одной прямой со скоростями $v\cos\alpha$ Силы отталкивания направлены вдоль этой же прямой, поэтому удар лобовой: протоны тормозят, в момент наибольшего сближения останавливаются (в лабораторной системе их скорости равны $v\sin\alpha$ и параллельны) и разлетаются.

Общая составляющая скоростей — движение центра масс; на сближение работает только встречная составляющая

v\cos\alpha

Закон сохранения энергии

В системе центра масс кинетическая энергия встречного движения целиком переходит в энергию взаимодействия:

2 \cdot \frac{m(v\cos\alpha)^2}{2} + \frac{ke^2}{L} = \frac{ke^2}{r}.

По условию энергия взаимодействия равна суммарной кинетической: $\dfrac{ke^2}{L} = 2 \cdot \dfrac{mv^2}{2} = mv^2$ . Тогда $mv^2\cos^2\alpha = \dfrac{ke^2}{L}\cos^2\alpha$ и

\frac{ke^2}{r} = \frac{ke^2}{L}\left(1 + \cos^2\alpha\right), \qquad r = \frac{L}{1 + \cos^2\alpha}.

Энергия движения центра масс $mv^2\sin^2\alpha$ на сближение не работает.

Ответ

При $\alpha = 45^\circ$ $\cos^2\alpha = \dfrac12$

r = \frac{2L}{3} = \frac{2 \cdot 3}{3} = 2 \text{ см}.

Проверка

Проверка: численное интегрирование движения двух протонов (метод Рунге — Кутты) даёт наименьшее расстояние $0{,}6667L$ а центр масс в расчёте всё время движется со скоростью $v\sin\alpha$ Предельные случаи формулы: при $\alpha = 90^\circ$ скорости параллельны, сближения нет — $r = L$ при $\alpha = 0$ удар лобовой, вся кинетическая энергия переходит в энергию взаимодействия — $r = L/2$ Другие версии (везде $\alpha = 45^\circ$ ): ID 3422 — $\dfrac{2 \cdot 9}{3} = 6$ см; ID 3423 — $8$ см; ID 3424 — $10$ см.

Ответ

$r_{\min} = \dfrac{L}{1 + \cos^2\alpha} = \dfrac{2L}{3} = 2$ см.

Ответ

$r_{\min} = \dfrac{L}{1 + \cos^2\alpha} = \dfrac{2L}{3} = 2$ см.

Главная идея

Одинаковые перпендикулярные составляющие скоростей — это скорость центра масс, она не меняется и уносит свою кинетическую энергию. В системе центра масс удар лобовой: в момент наибольшего сближения протоны останавливаются, и в энергию взаимодействия переходит только энергия встречного движения mv²cos²α.

Две одинаковые частицы с одинаковыми по модулю скоростями под углом к соединяющей их прямой — перейти в систему центра масс; наибольшее сближение — когда относительная скорость равна нулю.

Где легко ошибиться

Считать, что в момент наибольшего сближения протоны останавливаются и вся кинетическая энергия переходит в потенциальную: получится L/2. В ID 3421 это 1,5 см и после округления случайно те же 2 см, но в остальных версиях ошибка видна: 4,5; 6; 7,5 см вместо 6, 8, 10 см.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2024/25 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 6, версия с ID 3421 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3422, 3423, 3424) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 12) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф11 1 попытка 2024», стр. 2 ↗).

Продолжить тему: Электростатика →

Тема, знания и приёмы

Электростатика · Начальный вход

Центр масс, закон сохранения импульса
Закон сохранения энергии
Потенциальная энергия взаимодействия точечных зарядов

Приёмы решения: Относительное движение · Закон сохранения энергии · Закон сохранения импульса

Задать вопрос по задаче →