Физтех 2024/25 · Физика · 11 кл., №3 — решение · Отборочный этап

Условие

Верхний конец упругого жгута длины $L = 0{,}8$ м, лежащего на гладкой наклонной плоскости, закреплён. Нижний конец жгута находится у основания наклонной плоскости, которая составляет с гладкой горизонтальной плоскостью угол $\alpha$ такой, что $\sin\alpha = 0{,}5$ Жгут освобождают.

Через какое время после освобождения половина жгута переместится на горизонтальную плоскость? Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с². Жгут в покое и в движении находится в одной и той же вертикальной плоскости. Потерь энергии нет. Ответ приведите в [с] с округлением до десятых.

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2024/25

Жгут соскальзывает на горизонтальную плоскость, а тянет его только та часть, что ещё лежит на наклонной. Подумай, как эта сила зависит от того, сколько уже соскользнуло. Ниже можно сверить ответ в секундах.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеЖгут соскальзывает

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Жгут соскальзывает

Через какое время половина жгута окажется на горизонтальной плоскости?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Запиши силу, которая тянет жгут, когда на плоскости уже длина s, и сравни уравнение движения с уравнением колебаний груза на пружине.

Подсказка 1

Пусть на горизонтальную плоскость ушла длина $s$ Какая сила тянет весь жгут и какую массу она разгоняет? Запиши уравнение для $s''$

Подсказка 2

Получится $s'' = \dfrac{g\sin\alpha}{L}\,(L - s)$ — как у груза на пружине около положения $s = L$ Значит, $s = L(1 - \cos\omega t)$ с $\omega^2 = \dfrac{g\sin\alpha}{L}$ . Когда $s = L/2$

Разобрать решение по шагам

Модель жгута

Жёсткость жгута не дана, потерь энергии нет — считаем жгут гибким и практически нерастяжимым: растяжение под собственным весом пренебрежимо мало, и все его части движутся с одной скоростью. Плоскости гладкие. «Жгут освобождают» — отпускают его закреплённый верхний конец.

Уравнение движения

Пусть $\lambda$ — масса единицы длины, и на горизонтальной плоскости уже длина $s$ Вдоль движения тянет только составляющая силы тяжести части, лежащей на наклонной: $\lambda(L - s)g\sin\alpha$ . Силы реакции перпендикулярны плоскостям, натяжения — внутренние. Разгоняется же весь жгут массы $\lambda L$

\lambda L\,s'' = \lambda(L - s)\,g\sin\alpha \quad\Rightarrow\quad s'' = \omega^2(L - s), \qquad \omega^2 = \frac{g\sin\alpha}{L}.

Это уравнение гармонических колебаний около $s = L$ Жгут начинает из покоя при $s = 0$ поэтому

s = L(1 - \cos\omega t).

Тянет только вес части на наклонной, а разгоняется весь жгут — поэтому сила убывает по мере соскальзывания, и движение гармоническое.

Ответ

Половина жгута на плоскости, когда $\cos\omega t = \dfrac12$ т. е. $\omega t = \dfrac{\pi}{3}$ — через шестую часть периода:

\tau = \frac{\pi}{3}\sqrt{\frac{L}{g\sin\alpha}} = \frac{\pi}{3}\sqrt{\frac{0{,}8}{10 \cdot 0{,}5}} = \frac{\pi}{3} \cdot 0{,}4 \approx 0{,}419 \text{ с} \approx 0{,}4 \text{ с}.

Весь жгут окажется на плоскости через четверть периода, при $\omega t = \pi/2$ и дальше поедет равномерно.

Проверка

Проверка энергией: когда на плоскости длина $s$ центр тяжести части на наклонной опустился, и $\lambda L\,\dfrac{v^2}{2} = \lambda g\sin\alpha\,\dfrac{L^2 - (L - s)^2}{2}$ . При $s = L/2$ $v^2 = g\sin\alpha \cdot \dfrac{3L}{4} = 3$ м²/с². Из закона $s = L(1 - \cos\omega t)$ $v = L\omega\sin\dfrac{\pi}{3} = 0{,}8 \cdot 2{,}5 \cdot 0{,}866 \approx 1{,}732$ м/с — то же. Натяжение у основания $\lambda(L - s)g\sin\alpha\cdot\dfrac{s}{L} \ge 0$ — жгут не провисает. Независимо: интегрирование $dt = ds/v$ даёт $0{,}41888$ с. Другие версии: ID 3410 — $\dfrac{\pi}{3}\sqrt{\dfrac{0{,}5}{6}} \approx 0{,}302 \to 0{,}3$ с; ID 3411 — $\dfrac{\pi}{3}\sqrt{\dfrac{0{,}3}{8}} \approx 0{,}203 \to 0{,}2$ с; ID 3412 — $\dfrac{\pi}{3}\sqrt{\dfrac{0{,}9}{4}} \approx 0{,}497 \to 0{,}5$ с.

Ответ

$\tau = \dfrac{\pi}{3}\sqrt{\dfrac{L}{g\sin\alpha}} \approx 0{,}4$ с.

Ответ

$\tau = \dfrac{\pi}{3}\sqrt{\dfrac{L}{g\sin\alpha}} \approx 0{,}4$ с.

Главная идея

Тянет только вес части на наклонной, а разгоняется весь жгут: s″ = (g sin α/L)(L − s) — гармоническое движение около s = L. Половина жгута на плоскости через шестую часть периода: ωτ = π/3.

Цепочка или жгут соскальзывает, сила линейно зависит от того, сколько уже соскользнуло, — гармонические колебания.

Где легко ошибиться

Считать, что жгут разгоняется с постоянным ускорением g sin α (будто тянет весь вес): вышло бы √(L/(g sin α)) = 0,4 с — при округлении до десятых во всех четырёх версиях случайно то же число (время меньше в 3/π ≈ 0,95 раза), но закон движения неверен; делить силу на массу только части на наклонной.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2024/25 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 3, версия с ID 3409 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3410, 3411, 3412) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 5) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф11 1 попытка 2024», стр. 1 ↗).

Продолжить тему: Силы и ускорение →

Тема, знания и приёмы

Силы и ускорение · Начальный вход

Второй закон Ньютона для системы
Гармонические колебания: x″ = −ω²x
Потенциальная энергия протяжённого тела

Приёмы решения: Уравнение сил · Закон сохранения энергии

Задать вопрос по задаче →