Физика · 11 класс · Физтех 2024/25 · первый тур

Задача 2. Динамометр, который тянут в обе стороны

Условие

Динамометр находится на гладкой горизонтальной плоскости. К крюку прикладывают силу F1=5F_1 = 5 Н, к обойме прикладывают силу F2=1F_2 = 1 Н (см. рис.). Отношение массы MM обоймы к массе mm крюка равно Mm=3\dfrac{M}{m} = 3, масса пружины пренебрежимо мала.

Найдите показание движущегося динамометра. Ответ приведите в [Н] с округлением до целого числа.

F₂F₁обойма Mкрюк m
Рисунок к условию
О задаче · 11 класс
Олимпиада
Физтех (МФТИ)
Этап
Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс
Физика · 11 класс
Сезон
2024/25

Динамометр показывает силу, с которой растянута его пружина. Подумай, с каким ускорением движется прибор и какие силы действуют на одну только его часть. Ниже можно сверить ответ в ньютонах.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеДинамометр разгоняется

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Динамометр разгоняется

Что покажет динамометр, если его тянут в разные стороны разными силами?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй отдельно крюк и обойму с силами F₁, F₂ и силой пружины T и подбери T, при котором их ускорения одинаковы.

Подсказка 1

Пружина лёгкая: она тянет крюк назад и обойму вперёд с одной и той же силой TT — это и есть показание. Сам динамометр движется с ускорением. Как его найти?

Подсказка 2

Крюк и обойма движутся вместе с ускорением a=F1−F2M+ma = \dfrac{F_1 - F_2}{M + m}. Запиши второй закон Ньютона для одного крюка: на него действуют F1F_1 и сила пружины TT.

Разобрать решение по шагам
1

Что показывает динамометр

Показание — сила упругости пружины. Пружина лёгкая: сумма сил на неё равна нулю (иначе невесомое тело получило бы бесконечное ускорение), поэтому крюк она тянет назад, а обойму вперёд с одной и той же силой TT.

2

Ускорение всего прибора

Плоскость гладкая. Когда колебания пружины затухли, крюк и обойма движутся вместе, с одним ускорением. Сила пружины для прибора в целом внутренняя:

(M+m)a=F1−F2,a=F1−F2M+m.(M + m)a = F_1 - F_2, \qquad a = \frac{F_1 - F_2}{M + m}.
3

Второй закон для крюка

На крюк действуют F1F_1 вперёд и TT назад:

F1−T=ma,F_1 - T = ma,

откуда

T=F1−m(F1−F2)M+m=MF1+mF2M+m.T = F_1 - \frac{m(F_1 - F_2)}{M + m} = \frac{MF_1 + mF_2}{M + m}.

С отношением k=M/m=3k = M/m = 3:

T=kF1+F2k+1=3⋅5+14=4 Н.T = \frac{kF_1 + F_2}{k + 1} = \frac{3 \cdot 5 + 1}{4} = 4 \text{ Н}.
Лёгкая пружина тянет крюк и обойму с одной силой Tкрюк mF₁ = 5 НTaобойма M = 3mF₂ = 1 НTaВсё вместе: (M + m)a = F₁ − F₂ = 4 Н, a = 1 Н / mКрюк: F₁ − T = ma ⇒ T = 5 − 1 = 4 Н
Крюк и обойма по отдельности: сила пружины TT на них одна и та же, ускорение тоже одно.

Проверка

Проверка через обойму: T−F2=MaT - F_2 = Ma, T=1+3m⋅44m=4T = 1 + 3m \cdot \dfrac{4}{4m} = 4 Н — то же. Предельные случаи: если обойма очень тяжёлая (M≫mM \gg m), T→F1T \to F_1 — как у динамометра с закреплённой обоймой; если обойма лёгкая, T→F2T \to F_2. Независимо: модель двух грузов на пружине с затуханием успокаивается на показании 4,0004{,}000 Н. Другие версии: ID 3406 — 5⋅8+26=7\dfrac{5 \cdot 8 + 2}{6} = 7 Н; ID 3407 — 6⋅10+37=9\dfrac{6 \cdot 10 + 3}{7} = 9 Н; ID 3408 — 7⋅20+48=18\dfrac{7 \cdot 20 + 4}{8} = 18 Н.

Ответ

T=MF1+mF2M+m=4T = \dfrac{MF_1 + mF_2}{M + m} = 4 Н.

Ответ

T=MF1+mF2M+m=4T = \dfrac{MF_1 + mF_2}{M + m} = 4 Н.

Главная идея

Показание — сила лёгкой пружины, одинаковая на обоих её концах. Прибор ускоряется как целое, а силу пружины даёт второй закон для одной его части: T — взвешенное среднее F₁ и F₂ с весами M и m.

«Показание движущегося динамометра», массы частей разные — второй закон для всего прибора, потом для одной части.

Где легко ошибиться

Ответить F₁ (как для неподвижного динамометра) или среднее (F₁ + F₂)/2 = 3 Н; перепутать веса: (F₁ + kF₂)/(k + 1) = 2 Н.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2024/25 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 2, версия с ID 3405 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3406, 3407, 3408) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 3) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф11 1 попытка 2024», стр. 1 ↗).

Продолжить тему: Силы и ускорение →
Тема, знания и приёмы

Силы и ускорение · Нужна школьная база

  • Второй закон Ньютона для системы тел и для одного тела
  • Сила упругости лёгкой пружины
  • Внутренние и внешние силы

Приёмы решения: Уравнение сил

Задать вопрос по задаче →
Увеличенный рисунок