Физтех 2024/25 · Физика · 11 кл., №5 — решение · Отборочный этап

Условие

Подъемник грузов приводится в движение с помощью тепловой машины, в которой $\nu = 5$ моль одноатомного идеального газа участвуют в цикле $1 - 2 - 3 - 1$ Зависимость теплоемкости газа в цикле от температуры представлена на графике к задаче, $T_0 = 300$ К.

Определите, на какую высоту подъемник медленно переместит груз массой $M = 400$ кг за $N = 29$ циклов тепловой машины. Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с², универсальная газовая постоянная $R = 8{,}31$ Дж/(моль·К). Считайте, что в каждом цикле половина полезной работы газа преобразуется в полезную работу подъемника. Ответ приведите в [м] с округлением до целого числа.

Рисунок к условию

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2024/25

График говорит, какую теплоту газ получает или отдаёт на каждом участке. Подумай, какую работу газ совершает за весь цикл и какая её часть поднимает груз. Ниже можно сверить ответ в метрах.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеТепловая машина и подъёмник

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Тепловая машина и подъёмник

На какую высоту поднимется груз за N циклов?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Найди теплоту на каждом участке графика, Q = νCΔT, и сложи с учётом знаков — это работа газа за цикл.

Подсказка 1

За цикл газ возвращается в исходное состояние, и его внутренняя энергия тоже. Как тогда связаны работа газа за цикл и теплота, полученная на всех трёх участках?

Подсказка 2

На участке с постоянной теплоёмкостью $Q = \nu C\,\Delta T$ Сложи по трём участкам, учитывая знаки $\Delta T$ $A = \nu R\,(2 \cdot 8 - 1{,}5 \cdot 6 - 2{,}5 \cdot 2)\,T_0$ . Подъёмнику достаётся половина этой работы.

Разобрать решение по шагам

Работа за цикл — по теплотам

За цикл газ возвращается в исходное состояние, изменение внутренней энергии равно нулю. По первому закону термодинамики работа газа за цикл равна сумме теплот, полученных на всех участках. На каждом участке теплоёмкость постоянна, поэтому $Q = \nu C\,\Delta T$

Q_{12} = \nu \cdot 2R \cdot 8T_0, \qquad Q_{23} = \nu \cdot \tfrac32 R \cdot (-6T_0), \qquad Q_{31} = \nu \cdot \tfrac52 R \cdot (-2T_0),

A = \nu RT_0\,(16 - 9 - 5) = 2\nu RT_0 = 2 \cdot 5 \cdot 8{,}31 \cdot 300 = 24\,930 \text{ Дж}.

Какие это процессы

Проверим картину на $p$ – $V$ диаграмме. У одноатомного газа $C_V = \frac32R$ $C_p = \frac52R$ участок 2→3 — изохора, 3→1 — изобара. Для процесса $pV^n = \text{const}$ теплоёмкость $C = C_V + \dfrac{R}{1 - n}$ ; $C = 2R$ даёт $n = -1$ т. е. $p \propto V$ Тогда $T \propto pV \propto V^2$ температура выросла в $9$ раз — объём и давление выросли втрое. Цикл — треугольник с вершинами $(V_1, p_1)$ $(3V_1, 3p_1)$ $(3V_1, p_1)$ и его площадь

A = \frac{(2V_1)(2p_1)}{2} = 2p_1V_1 = 2\nu RT_0

— та же работа.

Тот же цикл на

p

–

V

диаграмме: площадь треугольника — работа газа за цикл.

Высота подъёма

Подъёмнику достаётся половина работы за цикл, $\nu RT_0$ Груз поднимают медленно, кинетической энергии он не набирает, поэтому за $N$ циклов

MgH = N\nu RT_0,

откуда

H = \frac{N\nu RT_0}{Mg} = \frac{29 \cdot 5 \cdot 8{,}31 \cdot 300}{400 \cdot 10} \approx 90{,}4 \text{ м} \approx 90 \text{ м}.

Проверка

Проверка: численный интеграл $\oint p\,dV$ по пути, восстановленному из теплоёмкостей, даёт $24\,930$ Дж за цикл. Теплоту газ получает только на участке 1→2, $16\nu RT_0$ поэтому КПД цикла $2/16 = 12{,}5\,\%$ — меньше, чем у цикла Карно между $T_0$ и $9T_0$ ( $89\,\%$ ), как и должно быть. Другие версии: ID 3418 — $\dfrac{10 \cdot 2 \cdot 8{,}31 \cdot 290}{150 \cdot 10} \approx 32{,}1 \to 32$ м; ID 3419 — $\dfrac{15 \cdot 3 \cdot 8{,}31 \cdot 270}{250 \cdot 10} \approx 40{,}4 \to 40$ м; ID 3420 — $\dfrac{25 \cdot 4 \cdot 8{,}31 \cdot 290}{350 \cdot 10} \approx 68{,}9 \to 69$ м.

Ответ

$H = \dfrac{N\nu RT_0}{Mg} \approx 90$ м.

Ответ

$H = \dfrac{N\nu RT_0}{Mg} \approx 90$ м.

Главная идея

За цикл внутренняя энергия газа возвращается к исходной, поэтому работа за цикл — сумма теплот νCΔT по участкам: νRT₀(16 − 9 − 5) = 2νRT₀. На p–V диаграмме это треугольник: изохора, изобара и процесс p ∝ V. Подъёмнику — половина: MgH = NνRT₀.

Цикл задан теплоёмкостью на каждом участке — работа за цикл равна сумме теплот νCΔT; по значениям C можно узнать и сами процессы.

Где легко ошибиться

Считать работой теплоту, полученную на участке нагревания (16νRT₀), и забыть про отданную; не взять половину работы; потерять знак ΔT на участках охлаждения; принять участок с C = 2R за изотерму или изобару.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2024/25 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 5, версия с ID 3417 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3418, 3419, 3420) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 8) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф11 1 попытка 2024», стр. 2 ↗).

Продолжить тему: Газы и термодинамика →

Тема, знания и приёмы

Газы и термодинамика · Начальный вход

Первый закон термодинамики
Молярная теплоёмкость; C_V и C_p одноатомного газа
Работа газа как площадь на p–V диаграмме

Приёмы решения: Чтение графика и сопоставление состояний · Первый закон для цикла

Задать вопрос по задаче →