Физтех 2024/25 · Физика · 11 кл., №7 — решение · Отборочный этап

Условие

На большом расстоянии от заряженного до напряжения $100$ В плоского конденсатора находится шарик, заряд которого $1$ нКл. Обкладки конденсатора — пластины, размеры которых во много раз больше расстояния $d$ между обкладками. Заряженный шарик медленно перемещают из «бесконечности» в конденсатор и располагают в точке, находящейся на расстоянии $\dfrac{d}{10}$ от положительно заряженной обкладки.

Какую наименьшую работу следует совершить на таком перемещении? Считайте, что электростатическое поле в пространстве между обкладками, созданное равными по модулю и противоположными по знаку зарядами обкладок, является однородным и не изменяется в процессе перемещения заряда. Ответ приведите в [нДж] с округлением до целого числа.

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2024/25

Работа медленного переноса заряда равна изменению его потенциальной энергии. Подумай, чему равен потенциал точки внутри конденсатора, если ноль потенциала — на бесконечности. Ниже можно сверить ответ в наноджоулях.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеШарик входит в конденсатор

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Шарик входит в конденсатор

Какую наименьшую работу нужно совершить, чтобы внести шарик в точку на расстоянии d/n от «+» обкладки?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй конденсатор и его среднюю плоскость. Чему равен её потенциал, если ноль — на бесконечности? Отсчитай от неё потенциал точки d/n.

Подсказка 1

Обкладки несут равные и противоположные заряды. Чему равен потенциал средней плоскости конденсатора, если ноль — на бесконечности? Подсказывает симметрия.

Подсказка 2

Средняя плоскость под нулевым потенциалом, как и бесконечность: по ней шарик вносят без работы. Положительная обкладка тогда под потенциалом $+U/2$ а внутри поле однородно: $\varphi(x) = \dfrac U2 - \dfrac{Ux}{d}$ .

Разобрать решение по шагам

Ноль потенциала — на средней плоскости

Заряды обкладок равны и противоположны. Отразим конденсатор относительно его средней плоскости и одновременно сменим знаки всех зарядов: получится та же самая система. При смене знаков потенциал меняет знак, а точки средней плоскости при отражении остаются на месте. Значит, их потенциал равен самому себе со знаком минус, то есть нулю — столько же, сколько на бесконечности.

По средней плоскости шарик можно привести из «бесконечности» внутрь конденсатора, не совершая работы.

Потенциал точки внутри

Внутри поле однородно, напряжённость $E = U/d$ Разность потенциалов обкладок $U$ средняя плоскость под нулём, поэтому положительная обкладка под потенциалом $+U/2$ отрицательная — под $-U/2$ На расстоянии $x$ от положительной обкладки

\varphi(x) = \frac U2 - \frac{Ux}{d},

и на расстоянии $d/10$

\varphi\left(\frac{d}{10}\right) = U\left(\frac12 - \frac1{10}\right) = 0{,}4U = 40 \text{ В}.

Удобный путь: по средней плоскости работа равна нулю, внутри — по однородному полю до точки

d/10

Работа

Шарик переносят медленно, кинетической энергии он не получает. Поэтому наименьшая работа внешней силы равна изменению потенциальной энергии шарика и не зависит от пути:

A = q(\varphi - 0) = qU\left(\frac12 - \frac1n\right) = 1 \text{ нКл} \cdot 40 \text{ В} = 40 \text{ нДж}.

Проверка

Проверка: потенциал двух больших дисков с зарядами $\pm\sigma$ и нулём на бесконечности в точке $d/10$ равен $0{,}4U$ — те же $40$ нДж. В модели с пластинами конечного размера средняя плоскость под нулём на любом удалении от конденсатора. Частые ошибки дают другие числа: ноль на отрицательной обкладке — $qU(1 - 1/n) = 90$ нДж, ноль на положительной — $-10$ нДж. Другие версии: ID 3426 — $2 \cdot 150 \cdot (0{,}5 - 0{,}2) = 90$ нДж; ID 3427 — $5 \cdot 160 \cdot (0{,}5 - 0{,}25) = 200$ нДж; ID 3428 — $6 \cdot 80 \cdot \left(\dfrac12 - \dfrac16\right) = 160$ нДж.

Ответ

$A = qU\left(\dfrac12 - \dfrac1n\right) = 40$ нДж.

Ответ

$A = qU\left(\dfrac12 - \dfrac1n\right) = 40$ нДж.

Главная идея

Обкладки заряжены равно и противоположно, поэтому средняя плоскость конденсатора под тем же потенциалом, что бесконечность. По ней шарик вносят без работы, а дальше работа равна q(U/2 − Ux/d).

Заряд вносят в конденсатор «из бесконечности» — найти потенциал точки с нулём на бесконечности; у конденсатора с зарядами ±q ноль — на средней плоскости.

Где легко ошибиться

Отсчитывать потенциал от отрицательной обкладки, как будто она заземлена: получится qU(1 − 1/n) = 90 нДж; или от положительной: −10 нДж. Ноль потенциала — на бесконечности, а у конденсатора с равными и противоположными зарядами это средняя плоскость.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2024/25 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 7, версия с ID 3425 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3426, 3427, 3428) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 14) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф11 1 попытка 2024», стр. 2 ↗).

Продолжить тему: Электростатика →

Тема, знания и приёмы

Электростатика · Начальный вход

Потенциал и работа электрического поля
Однородное поле плоского конденсатора
Симметрия в электростатике

Приёмы решения: Симметрия и попарное соответствие

Задать вопрос по задаче →