Физтех 2024/25 · Физика · 11 кл., №8 — решение · Отборочный этап

Условие

В цепи, схема которой показана на рисунке, все элементы можно считать идеальными, ЭДС батареи $\mathcal E = 50$ В, сопротивления резисторов $R_1 = 10$ Ом, $R_2 = 40$ Ом, $R_3 = 30$ Ом, $R_4 = 20$ Ом. Внутреннее сопротивление батареи пренебрежимо мало. До замыкания ключа заряд конденсатора нулевой.

Ключ замыкают. С какой скоростью будет расти заряд конденсатора сразу после замыкания ключа? Ответ приведите в [А] с округлением до целого числа.

Рисунок к условию

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2024/25

Скорость роста заряда конденсатора — это ток, который в него втекает. Подумай, каково напряжение на конденсаторе в первый момент после замыкания. Ниже можно сверить ответ в амперах.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеКлюч замкнули

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Ключ замкнули

С какой скоростью растёт заряд конденсатора сразу после замыкания ключа?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Сразу после замыкания конденсатор ещё не заряжен — замени его проводом, найди потенциал соединённых точек и токи через R₁ и R₂.

Подсказка 1

Заряд конденсатора не может измениться мгновенно. Каково напряжение на нём сразу после замыкания ключа и что тогда можно сказать о потенциалах точек $P$ и $Q$

Подсказка 2

Точки $P$ и $Q$ под одним потенциалом — соедини их проводом. Тогда $R_1$ и $R_3$ включены параллельно, $R_2$ и $R_4$ — тоже. Найди потенциал $\varphi$ общей точки, а ток в конденсатор — как разность токов через $R_1$ и $R_2$

Разобрать решение по шагам

Конденсатор в первый момент — как провод

Ток в цепи конечен, поэтому заряд конденсатора не может измениться скачком. Сразу после замыкания ключа конденсатор ещё не заряжен, напряжение на нём равно нулю: точки $P$ и $Q$ под одним потенциалом, будто соединены проводом. Ток через этот «провод» и есть скорость роста заряда $dq/dt$

Потенциал общей точки

Пусть потенциал узла $B$ равен нулю, тогда у узла $A$ — $\mathcal E$ Резисторы $R_1$ и $R_3$ подключены от $A$ к общей точке, $R_2$ и $R_4$ — от неё к $B$ Сколько тока приходит в общую точку, столько и уходит:

\frac{\mathcal E - \varphi}{R_1} + \frac{\mathcal E - \varphi}{R_3} = \frac{\varphi}{R_2} + \frac{\varphi}{R_4},

откуда

\varphi = \mathcal E\,\frac{1/R_1 + 1/R_3}{1/R_1 + 1/R_2 + 1/R_3 + 1/R_4} = 50 \cdot \frac{2/15}{5/24} = 32 \text{ В}.

Ток в конденсатор

В точку $P$ через $R_1$ приходит ток $I_1 = \dfrac{\mathcal E - \varphi}{R_1} = 1{,}8$ А, а через $R_2$ уходит $I_2 = \dfrac{\varphi}{R_2} = 0{,}8$ А. Разница идёт на обкладку конденсатора:

\frac{dq}{dt} = I_1 - I_2 = 1{,}8 - 0{,}8 = 1 \text{ А}.

Проверка через точку $Q$ $I_4 - I_3 = \dfrac{32}{20} - \dfrac{18}{30} = 1{,}6 - 0{,}6 = 1$ А — столько же уходит с другой обкладки.

Первый момент после замыкания: незаряженный конденсатор как провод, разность токов через

R_1

R_2

идёт на его обкладку.

Проверка

Проверка эквивалентным генератором: конденсатор подключён к источнику с напряжением холостого хода $u_\infty = \mathcal E\dfrac{R_2}{R_1 + R_2} - \mathcal E\dfrac{R_4}{R_3 + R_4} = 40 - 20 = 20$ В и внутренним сопротивлением $\dfrac{R_1R_2}{R_1 + R_2} + \dfrac{R_3R_4}{R_3 + R_4} = 8 + 12 = 20$ Ом, поэтому начальный ток $20/20 = 1$ А. Узловые уравнения с шагами по времени дают то же и показывают, что потом ток убывает до нуля. Сопротивления во всех версиях в пропорции $1 : 4 : 3 : 2$ поэтому $\varphi = 0{,}64\mathcal E$ и $dq/dt = \mathcal E/(5R_1)$ : ID 3430 — $40/10 = 4$ А; ID 3431 — $90/30 = 3$ А; ID 3432 — $80/40 = 2$ А.

Ответ

$\dfrac{dq}{dt} = \dfrac{\mathcal E - \varphi}{R_1} - \dfrac{\varphi}{R_2} = 1$ А.

Ответ

$\dfrac{dq}{dt} = \dfrac{\mathcal E - \varphi}{R_1} - \dfrac{\varphi}{R_2} = 1$ А.

Главная идея

Сразу после замыкания незаряженный конденсатор ведёт себя как провод: напряжение на нём ноль, точки P и Q под одним потенциалом. Ток зарядки — разность тока, приходящего в P через R₁, и тока, уходящего через R₂.

«Сразу после замыкания» и незаряженный конденсатор — заменить его проводом; через долгое время — разрывом цепи.

Где легко ошибиться

Принять за скорость роста заряда ток батареи (2,4 А) или ток одного из резисторов; считать, что ток в конденсатор сразу после замыкания не идёт (так будет только через долгое время); рассчитать мост без перемычки между P и Q.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2024/25 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 8, версия с ID 3429 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3430, 3431, 3432) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 16) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф11 1 попытка 2024», стр. 2 ↗).

Продолжить тему: Электрические цепи →

Тема, знания и приёмы

Электрические цепи · Нужна школьная база

Законы Кирхгофа, потенциалы узлов
Конденсатор в цепи: заряд не меняется скачком
Параллельное и последовательное соединение

Приёмы решения: Узлы и эквивалентная цепь

Задать вопрос по задаче →