Физтех 2024/25 · Физика · 11 кл., №4 — решение · Отборочный этап

Условие

Космический аппарат с площадью поперечного сечения $S = 5$ м² движется со скоростью $V = 8$ км/с в верхних слоях атмосферы, где давление $P = 2{,}4$ Па, среднеквадратичная скорость молекул воздуха $\sqrt{\langle v^2\rangle} = 463$ м/с. Считайте, что на рассматриваемых высотах молярная масса воздуха $29$ г/моль.

Найдите число столкновений космического аппарата с молекулами воздуха за время $\tau = 3$ с. Далее число столкновений разделите на $6 \times 10^{23}$ полученное от деления частное округлите до целого числа и приведите в ответе.

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2024/25

Столкновений будет гигантское число — поэтому его и просят разделить на $6\cdot10^{23}$ Подумай, какие молекулы успеют удариться об аппарат за время $\tau$ и сколько их в каждом кубическом метре. Ниже можно сверить ответ — целое число.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеМолекулы налетают на аппарат

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Молекулы налетают на аппарат

Сколько молекул воздуха ударится об аппарат за время τ?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй аппарат и цилиндр перед ним с основанием S и длиной Vτ. Какие молекулы успеют удариться об аппарат за время τ и сколько их в этом цилиндре?

Подсказка 1

Аппарат летит в $8000/463 \approx 17$ раз быстрее теплового движения молекул. Перейди в систему отсчёта аппарата: откуда прилетают молекулы, которые успеют удариться о него за время $\tau$

Подсказка 2

Ударятся все молекулы из цилиндра с основанием $S$ и длиной $V\tau$ — их $N = nSV\tau$ Концентрацию $n$ найди из основного уравнения МКТ $P = \dfrac13\,n m_0\langle v^2\rangle$ , где $m_0 = \mu/N_A$

Разобрать решение по шагам

Концентрация молекул

Основное уравнение МКТ: $P = \dfrac13\,n m_0\langle v^2\rangle$ , масса молекулы $m_0 = \mu/N_A$ Отсюда

n = \frac{3PN_A}{\mu\langle v^2\rangle} = \frac{3 \cdot 2{,}4 \cdot 6\cdot10^{23}}{0{,}029 \cdot 463^2} \approx 6{,}95\cdot10^{20}\ \text{м}^{-3}.

Молярная масса — в кг/моль: $\mu = 0{,}029$ кг/моль.

Какие молекулы ударятся

Перейдём в систему отсчёта аппарата. В ней воздух налетает со скоростью $V = 8000$ м/с, а тепловой разброс скоростей — сотни метров в секунду, в $17$ раз меньше. Молекулы летят почти параллельно, и за время $\tau$ о лобовую поверхность ударяется каждая молекула из цилиндра с основанием $S$ и длиной $V\tau$ — объёма, который аппарат «заметает». Остальные пролетают мимо, а догнать аппарат сзади молекулы не успевают:

N = nSV\tau.

Тепловые скорости на ответ не влияют: их средняя проекция на направление полёта равна нулю.

В системе отсчёта аппарата воздух налетает почти параллельным потоком: ударятся все молекулы заметаемого цилиндра

SV\tau

Ответ

$N = nSV\tau \approx 6{,}95\cdot10^{20} \cdot 5 \cdot 8000 \cdot 3 \approx 8{,}34\cdot10^{25}$ . Делитель $6\cdot10^{23}$ — число Авогадро, оно сокращается:

\frac{N}{N_A} = \frac{3PSV\tau}{\mu\langle v^2\rangle} = \frac{3 \cdot 2{,}4 \cdot 5 \cdot 8000 \cdot 3}{0{,}029 \cdot 463^2} \approx 138{,}98 \approx 139.

Проверка

Проверка: для молекул, распределённых по Максвеллу, точный поток на лобовую поверхность при $V$ в $30$ раз большей разброса одной проекции скорости ( $\sqrt{\langle v^2\rangle/3} \approx 267$ м/с), совпадает с $nV$ во всех знаках, а на заднюю поверхность — практически ноль (независимый расчёт и модель). Размерность:

\dfrac{\text{Па}\cdot\text{м}^2\cdot\text{м/с}\cdot\text{с}}{\text{кг/моль}\cdot\text{м}^2/\text{с}^2} =

моль — частное и есть число молей «встреченных» молекул. Другие версии: ID 3414 — $112{,}2 \to 112$ ID 3415 — $167{,}4 \to 167$ ID 3416 — $220{,}4 \to 220$ Если бы в концентрации взяли $N_A = 6{,}02\cdot10^{23}$ а делили на $6\cdot10^{23}$ частное стало бы в $1{,}0033$ раза больше: $139$ $113$ $168$ $221$

Ответ

$\dfrac{N}{6\cdot10^{23}} = \dfrac{3PSV\tau}{\mu\langle v^2\rangle} \approx 139$ .

Ответ

$\dfrac{N}{6\cdot10^{23}} = \dfrac{3PSV\tau}{\mu\langle v^2\rangle} \approx 139$ .

Главная идея

Аппарат в 17 раз быстрее молекул: в его системе отсчёта воздух налетает почти параллельным потоком, и за время τ о него ударяются все молекулы заметаемого цилиндра SVτ. Концентрация — из основного уравнения МКТ, число Авогадро сокращается: N/N_A = 3PSVτ/(μ⟨v²⟩).

Тело движется в газе намного быстрее теплового движения молекул — число ударов равно числу молекул в объёме, который тело заметает.

Где легко ошибиться

Считать удары, как о стенку неподвижного сосуда, через тепловую скорость (n⟨v⟩Sτ/4) — выйдет в десятки раз меньше; забыть перевести км/с в м/с или г/моль в кг/моль; взять в концентрации N_A = 6,02·10²³, а делить на 6·10²³ — в трёх версиях из четырёх ответ сдвинется на единицу.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2024/25 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 4, версия с ID 3413 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3414, 3415, 3416) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 6) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф11 1 попытка 2024», стр. 1 ↗).

Продолжить тему: Газы и термодинамика →

Тема, знания и приёмы

Газы и термодинамика · Нужна школьная база

Основное уравнение МКТ
Концентрация молекул, число Авогадро, молярная масса
Переход в другую систему отсчёта

Приёмы решения: Относительное движение · Последовательный подсчёт без повторов

Задать вопрос по задаче →