Физтех 2024/25 · Физика · 11 кл., №1 — решение · Отборочный этап

Условие

Два катера движутся в тумане по одной прямой навстречу друг другу. В момент времени $t = 0$ скорость первого катера $20$ м/с, скорость второго катера $10$ м/с. В процессе сближения ускорение первого катера $2$ м/с², ускорение второго катера $1$ м/с². Ускорения постоянны и направлены противоположно соответствующим начальным скоростям.

При каком наименьшем начальном расстоянии между катерами не произойдёт столкновения в процессе движения? Ответ приведите в [м] с округлением до целого числа.

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2024/25

Катера тормозят оба. Подумай, в какой момент они ближе всего друг к другу и удобно ли смотреть на движение «с борта» одного из них. Ниже можно сверить ответ в метрах.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеКатера в тумане

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Катера в тумане

При каком наименьшем начальном расстоянии катера не столкнутся?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Запиши координаты катеров x₁ = v₁t − a₁t²/2 и x₂ = D − v₂t + a₂t²/2 и найди, при каком D их разность в самый близкий момент равна нулю.

Подсказка 1

Перейди в систему отсчёта первого катера. С какой скоростью и с каким ускорением движется в ней второй катер?

Подсказка 2

В системе первого катера второй приближается со скоростью $v_1 + v_2$ и тормозит с ускорением $a_1 + a_2$ Катера ближе всего, когда их относительная скорость обращается в ноль. Какой путь проходит тело, которое тормозит от скорости $u$ до нуля с ускорением $a$

Разобрать решение по шагам

Движение «с борта» первого катера

Направим ось вдоль движения первого катера. Его скорость $v_1$ ускорение $-a_1$ У второго скорость $-v_2$ а ускорение $+a_2$ — тоже против его скорости.

Относительно первого катера второй движется со скоростью $-(v_1 + v_2)$ — навстречу — и с ускорением $a_2 - (-a_1) = a_1 + a_2$ направленным против этой скорости. Ускорения постоянны всё время — и после остановки катера (он поедет назад), — поэтому относительное движение всё время равнозамедленное.

Когда катера ближе всего

Пока относительная скорость направлена навстречу, расстояние уменьшается; когда она обращается в ноль, катера ближе всего, дальше они расходятся. Это происходит в момент

t^* = \frac{v_1 + v_2}{a_1 + a_2} = \frac{30}{3} = 10 \text{ с}.

За это время расстояние сокращается на тормозной путь относительного движения:

L = \frac{(v_1 + v_2)^2}{2(a_1 + a_2)}.

При начальном расстоянии

150

м графики координат касаются: в момент

10

с скорости катеров равны.

Ответ

L = \frac{30^2}{2 \cdot 3} = 150 \text{ м}.

Если начальное расстояние меньше $150$ м, расстояние обратится в ноль раньше момента $t^*$ — катера столкнутся. При $150$ м они в момент $t^* = 10$ с оказываются в одной точке с одинаковыми скоростями (здесь — оба как раз остановились) и дальше расходятся: это граница.

Проверка

Проверка: при $L = 150$ м в момент $10$ с $x_1 = 20 \cdot 10 - 10^2 = 100$ м, $x_2 = 150 - 10 \cdot 10 + 10^2/2 = 100$ м, скорости $20 - 2 \cdot 10 = 0$ и $10 - 1 \cdot 10 = 0$ — катера встретились без относительной скорости. Независимо: перебор по времени расстояния между катерами даёт $150{,}0$ м. Другие версии: ID 3401 — $\dfrac{20^2}{2 \cdot 2{,}5} = 80$ м; ID 3402 — $\dfrac{20^2}{2 \cdot 2} = 100$ м; ID 3403 — $\dfrac{20^2}{2 \cdot 1} = 200$ м. В них один катер останавливается раньше момента наибольшего сближения и уже едет назад — так и должно быть при постоянных ускорениях.

Ответ

$L = \dfrac{(v_1 + v_2)^2}{2(a_1 + a_2)} = 150$ м.

Ответ

$L = \dfrac{(v_1 + v_2)^2}{2(a_1 + a_2)} = 150$ м.

Главная идея

В системе отсчёта одного катера другой движется равнозамедленно: относительная скорость v₁ + v₂, относительное ускорение a₁ + a₂. Ближе всего — когда относительная скорость ноль, путь до этого (v₁ + v₂)²/(2(a₁ + a₂)).

Два тела сближаются с постоянными ускорениями, спрашивают о наименьшем расстоянии — перейти в систему отсчёта одного из них.

Где легко ошибиться

Сложить тормозные пути катеров v₁²/(2a₁) + v₂²/(2a₂) — это верно, только если остановившийся катер стоит; здесь ускорения постоянны, и в трёх версиях из четырёх так получилось бы другое число. Искать наименьшее расстояние в момент остановки одного катера, а не при равенстве скоростей.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2024/25 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 1, версия с ID 3400 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3401, 3402, 3403) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф11 1 попытка 2024», стр. 1 ↗).

Продолжить тему: Кинематика →

Тема, знания и приёмы

Кинематика · Нужна школьная база

Равнопеременное движение
Относительная скорость и относительное ускорение
Тормозной путь u²/(2a)

Приёмы решения: Относительное движение

Задать вопрос по задаче →