Физтех 2024/25 · Физика · 11 кл., №10 — решение · Отборочный этап

Условие

На гладкой горизонтальной плоскости находится система из двух одинаковых маленьких шариков (см. рис.), скрепленных легким тонким стержнем длины $l = 0{,}3$ м. Одному шарику сообщают вертикальную начальную скорость $\vec v_0$ Система приходит в движение, нижний шарик безотрывно скользит по горизонтальной плоскости. Через некоторое время шарики находятся на одной вертикали, в этот момент сила, с которой нижний шарик действует на горизонтальную плоскость, обращается в ноль.

Найдите $|\vec v_0|$ — модуль начальной скорости шарика. Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с². Ответ приведите в [м/с] с округлением до десятых.

Рисунок к условию

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2024/25

Плоскость гладкая. Подумай, как движется центр масс гантели и какие скорости у шариков в момент, когда стержень встанет вертикально. Ниже можно сверить ответ в метрах в секунду.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеГантель встаёт вертикально

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Гантель встаёт вертикально

Какую скорость нужно сообщить шарику, чтобы на вертикали нижний шарик перестал давить на плоскость?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй гантель в вертикальном положении, отметь скорости шариков (горизонтальные, противоположные) и силы, действующие на каждый шарик, если нижний не давит на плоскость.

Подсказка 1

Горизонтальных внешних сил нет, поэтому центр масс движется только по вертикали. Какими будут скорости шариков, когда стержень вертикален? И что значит, что нижний шарик в этот момент не давит на плоскость?

Подсказка 2

На вертикали скорости шариков горизонтальны, противоположны и равны $v$ Если $N = 0$ нижний шарик в этот момент не ускоряется: стержень тянет его вверх с силой $mg$ — и с такой же силой тянет вниз верхний шарик. Верхний движется вокруг нижнего по окружности со скоростью $2v$ $\dfrac{(2v)^2}{l} = 2g$ Добавь закон сохранения энергии.

Разобрать решение по шагам

Скорости шариков на вертикали

Внешние силы — тяжести и реакции гладкой плоскости — вертикальны, начальная скорость тоже вертикальна. Поэтому горизонтальный импульс гантели всё время равен нулю, и центр масс движется только по вертикали.

Когда стержень вертикален, нижний шарик скользит по плоскости — его скорость горизонтальна. Верхний движется относительно нижнего перпендикулярно стержню — тоже горизонтально. Горизонтальный импульс равен нулю, значит, скорости шариков противоположны и равны по модулю: $v$ и $-v$ Относительная скорость верхнего шарика $2v$

Сила давления обращается в ноль

На нижний шарик в этот момент действуют сила тяжести $mg$ сила стержня $T$ (стержень вертикален) и реакция плоскости $N = 0$ Шарик скользит по плоскости — вертикального ускорения у него нет, горизонтальных сил тоже нет. Значит, его ускорение равно нулю, а стержень тянет его вверх: $T = mg$

Лёгкий стержень с той же силой тянет вниз верхний шарик: на него действует $mg + T = 2mg$ ускорение $2g$ вниз. Нижний шарик в этот момент не ускоряется, и в его системе отсчёта верхний движется по окружности радиуса $l$ со скоростью $2v$ Ускорение $2g$ — центростремительное:

\frac{(2v)^2}{l} = 2g \quad\Rightarrow\quad v^2 = \frac{gl}{2}.

Момент, когда стержень вертикален: нижний шарик не давит на плоскость, стержень тянет оба шарика с силой

mg

Закон сохранения энергии

Сначала движется только один шарик, на вертикали — оба со скоростью $v$ и верхний поднят на $l$

\frac{mv_0^2}{2} = 2 \cdot \frac{mv^2}{2} + mgl = \frac{mgl}{2} + mgl,

откуда

v_0 = \sqrt{3gl} = \sqrt{3 \cdot 10 \cdot 0{,}3} = 3{,}0 \text{ м/с}.

Проверка

Проверка: численное интегрирование движения гантели (уравнение Лагранжа, метод Рунге — Кутты и модель) с подбором $v_0$ делением отрезка пополам даёт $v_0 = 3{,}000$ м/с; в этом движении плоскость давит на нижний шарик всю дорогу, а на вертикали сила давления обращается в ноль. Если $v_0$ на $2\,\%$ больше, нижний шарик оторвался бы раньше; если меньше — на вертикали он ещё давит на плоскость; при $v_0 < \sqrt{2gl}$ стержень вообще не встанет вертикально. Другие версии: ID 3438 — $\sqrt{3 \cdot 10 \cdot 1{,}4} = \sqrt{42} \approx 6{,}48 \to 6{,}5$ м/с; ID 3439 — $\sqrt{27} \approx 5{,}20 \to 5{,}2$ м/с; ID 3440 — $\sqrt{15} \approx 3{,}87 \to 3{,}9$ м/с.

Ответ

$v_0 = \sqrt{3gl} = 3{,}0$ м/с.

Ответ

$v_0 = \sqrt{3gl} = 3{,}0$ м/с.

Главная идея

Плоскость гладкая — центр масс движется по вертикали, и на вертикали шарики летят в разные стороны с одинаковыми скоростями v. Если нижний шарик не давит на плоскость, стержень тянет его вверх с силой mg, а верхний — вниз с той же силой; в системе нижнего шарика верхний движется по окружности: (2v)²/l = 2g. Дальше — закон сохранения энергии.

Гантель или стержень на гладкой плоскости — горизонтальный импульс сохраняется, центр масс движется по вертикали; условие N = 0 — через второй закон Ньютона в системе нижнего шарика.

Где легко ошибиться

Считать, что верхний шарик обращается вокруг нижнего со скоростью v, а не 2v: (v²/l = 2g) даёт v₀ = √(6gl) ≈ 4,2 м/с; считать, что на вертикали шарики останавливаются: v₀ = √(2gl) ≈ 2,4 м/с — но тогда нижний шарик давил бы на плоскость с силой 2mg; забыть о силе стержня и написать v²/l = g.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2024/25 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 10, версия с ID 3437 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3438, 3439, 3440) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 24) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф11 1 попытка 2024», стр. 3 ↗).

Продолжить тему: Энергия и импульс →

Тема, знания и приёмы

Энергия и импульс · Продвинутая подготовка

Закон сохранения импульса, центр масс
Закон сохранения энергии
Второй закон Ньютона, центростремительное ускорение
Относительное движение

Приёмы решения: Закон сохранения импульса · Закон сохранения энергии · Уравнение сил

Задать вопрос по задаче →