Шаг в будущее 2025/26 · Математика · 9 кл., №3

Условие

В треугольнике $MCT$ высота, проведенная из вершины $C$ делит сторону $MT$ в отношении $3:5$ считая от вершины $M$ Параллельно этой высоте проведена прямая, которая пересекает стороны $CT$ и $MT$ в точках $K$ и $P$ соответственно. Найдите длину отрезка $KP$ если высота, проведенная из вершины $C$ равна $\sqrt{30}$ и площадь четырехугольника $MCKP$ относится к площади треугольника $KPT$ как $2:1$

Высота делит MT в отношении 3 : 5; KP параллелен ей. Имена H и P отмечают основания перпендикуляров.

О задаче · 9 класс · 9 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Математика · 9 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Отборочный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 3

Официальные баллы9 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 9 класс.

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюПостроение по шагам

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Две разные пары площадей

Выберите нужное сравнение: общий большой треугольник связывает две известные доли, а подобие переводит площадь в длину.

1. Подобные треугольники

$KPT\sim CHT$ два прямых угла и общий угол при $T$

2. Разбиение всей площади

$S_{KPT}=\frac13S_{MCT}$ а $S_{CHT}=\frac58S_{MCT}$

3. Соответствующие высоты

$\frac{S_{KPT}}{S_{CHT}}=\frac8{15}=\left(\frac{KP}{CH}\right)^2$ .

Переключение показывает шаги одного построения. Все состояния доступны статично; данные задачи не меняются.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Проведите исходную высоту $CH$ С каким прямоугольным треугольником подобен $KPT$

Подсказка 2

Сначала выразите площади $KPT$ и $CHT$ через площадь всего треугольника. Их отношение даст квадрат отношения высот.

Разобрать решение по шагам

Отделим прямоугольный треугольник

Пусть $H$ — основание высоты из $C$ $MH=3u$ $HT=5u$ $CH=h=\sqrt{30}$ Тогда $MT=8u$ Треугольник $KPT$ прямоугольный и подобен $CHT$ поскольку $KP\parallel CH$ и угол при $T$ общий.

Выделены прямоугольные треугольники CHT и KPT с общим углом T.

Найдём отношение площадей

Четырёхугольник $MCKP$ и треугольник $KPT$ составляют весь треугольник $MCT$ По условию первая площадь вдвое больше второй, значит, $S_{KPT}=S_{MCT}/3$ Треугольники $CHT$ и $MCT$ имеют одну высоту $CH$ поэтому $S_{CHT}/S_{MCT}=HT/MT=5/8$ . Следовательно,

\frac{S_{KPT}}{S_{CHT}}=\frac{\frac13}{\frac58}=\frac8{15}.

Сначала сравниваем KPT со всей площадью, а затем CHT с той же всей площадью.

Перейдём от площадей к длинам

У подобных треугольников отношение площадей равно квадрату отношения соответствующих сторон: если все длины увеличить вдвое, площадь увеличится вчетверо. Здесь соответствующие высоты — $KP$ и $CH$ поэтому

\left(\frac{KP}{CH}\right)^2=\frac8{15}.

Подставляем $CH^2=(\sqrt{30})^2=30$

KP^2=30\cdot\frac8{15}=16.

Длина положительна, значит, $KP=4$

Сравниваем именно выделенные соответствующие высоты KP и CH.

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

$KP=4$

Главная идея

Сравнить маленький треугольник не сразу со всем исходным, а с подобным ему треугольником у высоты.

Как заметить эту идею в другой задаче

Параллельный высоте отрезок часто создаёт подобный прямоугольный треугольник; отношение площадей позволяет найти квадрат нужной длины.

Возможная ошибка

Принять $KPT$ и $MCT$ за подобные треугольники или использовать отношение $2:1$ как отношение линейных размеров.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 2 · задача 3 ↗

Шаг в будущее · 2025/26 · математика · 9 класс · отборочный этап · вариант 1.

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Следующий учебный шаг

Попробуй похожую задачу

Прямая через середину диагонали →

Шаг в будущее · № 2

Сложность 4/5 · предварительная оценка

Продолжить тему: Площади →

Тема, знания и приёмы

Площади · Нужна школьная база

Площади прямоугольника и треугольника
основание и высота

Приёмы решения: Подобие треугольников · Сравнение площадей по основанию и высоте

Задать вопрос по задаче →