Максимум количества чисел

Выведем общий шаг между числами

Докажем, что $36$ и больше чисел быть не может. Если чисел хотя бы четыре, для любых двух из них $u$ и $v$ можно выбрать ещё два числа $b,c$. По условию $(u+b+c)/3$ и $(v+b+c)/3$ — целые. Их разность $(u-v)/3$ тоже целая. Значит, разность любых двух чисел кратна $3$.

Проверим целочисленность самих чисел

Обозначим наименьшее число через $x_1$. Все остальные имеют вид $x_1+3m$, где $m$ — целое число. Среднее любых трёх тогда равно $x_1$ плюс целое число. Оно целое по условию, поэтому и $x_1$ целое. Таким образом, все числа целые и при расположении по возрастанию соседние отличаются хотя бы на $3$.

Оценим снизу сумму 36 чисел

Пусть $x_1<x_2<\cdots$. Целая сумма двух наименьших больше $10$, поэтому $x_1+x_2\ge11$. Кроме того, $x_2-x_1\ge3$. Складывая неравенства, получаем $2x_2\ge14$, то есть $x_2\ge7$. Далее $x_3\ge10$, $x_4\ge13$, и так далее: $x_{36}\ge109$. Поэтому сумма первых $36$ чисел не меньше

Все следующие числа положительны, поэтому при $n\ge36$ общая сумма тем более больше $2025$. Значит, $n\le35$.

Построим подходящий набор из 35 чисел

Возьмём $34$ числа $6,9,12,\ldots,105$ и ещё число $138$. Все они различны и делятся на $3$, поэтому среднее любых трёх целое. Наименьшая сумма пары равна $6+9=15>10$. Общая сумма

Набор существует, значит, максимальное количество равно $35$.