Шаг в будущее 2025/26 · Математика · 9 кл., №8

Условие

Определите все значения параметра $a$ при каждом из которых уравнение $2(x-5)^2-(a^2-a)\cdot|x-5|+3(a^2-a)-18=0$ имеет три различных решения. Если таких значений параметра несколько, выпишите в ответ наибольшее из них.

О задаче · 9 класс · 14 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Математика · 9 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Отборочный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 8

Официальные баллы14 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 9 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Положите $t=|x-5|\ge0$ и обозначьте $b=a^2-a$

Подсказка 2

Для трёх корней исходного уравнения квадратное уравнение по $t$ должно иметь корень $0$ и ещё один положительный корень.

Разобрать решение по шагам

Заменим модуль, сохранив число исходных корней

Положим $t=|x-5|\ge0$ и $b=a^2-a$ Поскольку $(x-5)^2=|x-5|^2=t^2$ уравнение станет квадратным:

2t^2-bt+3b-18=0.

Важно не просто найти корни по $t$ но и понять, сколько значений $x$ им соответствует.

Корень по $t$	Что означает $\|x-5\|=t$	Сколько значений $x$
$t>0$	$x=5-t$ или $x=5+t$	Два различных
$t=0$	$x=5$	Одно
$t<0$	Модуль не бывает отрицательным	Ни одного

Нечётное число корней требует нулевого значения модуля

У квадратного уравнения не более двух различных корней. Два положительных значения $t$ дали бы четыре значения $x$ одно положительное — два. Чтобы получить ровно три, нужны $t=0$ и ещё один положительный корень. Подставим нулевой корень:

3b-18=0,\qquad b=6.

Проверим второй корень и вернёмся к параметру

При $b=6$ действительно получаем

2t^2-6t=2t(t-3)=0.

Значит, $t=0$ или $t=3$ а исходные корни равны $x=5$ и $x=5\pm3$ то есть $2$ $5$ $8$ Теперь найдём, какие $a$ дают $b=6$ Покажем группировку:

\begin{aligned} a^2-a-6&=0,\\[0.45em] a^2-3a+2a-6&=0,\\[0.45em] a(a-3)+2(a-3)&=0,\\[0.45em] (a-3)(a+2)&=0. \end{aligned}

Подходят $a=3$ и $a=-2$ По условию в ответ требуется наибольшее значение, поэтому записываем $3$

Ответ

$a\in\{-2,3\}$ В бланк ответа: $3$

Главная идея

Положительному значению модуля соответствуют два корня, а нулевому — один. Именно это объясняет число три.

Как заметить эту идею в другой задаче

Если выражение зависит от расстояния $|x-c|$ положительное расстояние даёт два симметричных корня, а нулевое — один.

Возможная ошибка

Сосчитать корни вспомогательного квадратного уравнения вместо корней по $x$ или допустить отрицательное значение модуля.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 4 · задача 8 ↗

Шаг в будущее · 2025/26 · математика · 9 класс · отборочный этап · вариант 1.

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Параметры и число корней →

Тема, знания и приёмы

Параметры и число корней · Нужна школьная база

Модуль
Замена переменной
Квадратные уравнения
Группировка слагаемых

Приёмы решения: Симметрия и попарное соответствие · Разбор случаев

Задать вопрос по задаче →