Шаг в будущее 2025/26 · Математика · 9 кл., №4

Условие

Остаток от деления некоторого натурального числа $a$ на $17$ равен $2$ остаток от деления, $a$ на $13$ равен $1$ Чему равен остаток от деления, $a$ на $221$

О задаче · 9 класс · 9 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Математика · 9 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Отборочный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 4

Официальные баллы9 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy2/5 · предварительно

Для подготовки: 9 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Найдите небольшое число, одновременно дающее оба нужных остатка.

Подсказка 2

Если у двух чисел совпадают остатки по $17$ и по $13$ на какие числа делится их разность?

Разобрать решение по шагам

Найдём число с нужными остатками

Числа, дающие остаток $2$ при делении на $17$ начинаются так: $2$ $19$ $36$ $53$ Последнее подходит и ко второму условию: $53=13\cdot4+1$

Докажем, что остаток определён однозначно

У исходного числа $a$ и числа $53$ одинаковые остатки и по $17$ и по $13$ Поэтому разность $a-53$ делится на оба этих взаимно простых числа, а значит, на их произведение $17\cdot13=221$ Так как $0\le53<221$ это и есть остаток при делении $a$ на $221$