Шаг в будущее 2025/26 · Математика · 9 кл., №7

Условие

На доске было написано $n>36$ последовательных натуральных чисел, начиная с некоторого. Посчитали их сумму, разделили ее на $10$ и получили квадрат числа месяцев в году. Найдите наибольшее число, которое было записано на доске.

О задаче · 9 класс · 12 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Математика · 9 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Отборочный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 7

Официальные баллы12 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 9 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Переведите условие про месяцы в сумму чисел. Сколько чисел могло быть, если первое не меньше $1$

Подсказка 2

Удвоенная сумма равна количеству, умноженному на сумму первого и последнего чисел. Это ограничит количество делителями одной константы.

Разобрать решение по шагам

Найдём сумму и ограничим количество чисел

В году $12$ месяцев, поэтому сумма чисел равна $10\cdot12^2=1440$ Обозначим первое число через $k\ge1$ количество через $n$ Даже при $k=1$ сумма не меньше $n(n+1)/2$ Поскольку $53\cdot54/2=1431$ а $54\cdot55/2=1485>1440$ получаем $37\le n\le53$

Используем формулу суммы подряд идущих чисел

Первое и последнее числа равны $k$ и $k+n-1$ Умножая среднее крайних на количество, получаем

\frac{n(2k+n-1)}2=1440,\qquad n(2k+n-1)=2880.

Значит, $n$ — делитель $2880=2^6\cdot3^2\cdot5$ Между $37$ и $53$ такими делителями являются только $40$ $45$ и $48$

Проверим три кандидата

Из формулы следует $2k=2880/n-n+1$ При $n=40$ это $2k=33$ при $n=45$ — $2k=20$ при $n=48$ — $2k=13$ Натуральное $k$ получается только при $n=45$ $k=10$ Последнее число равно $10+45-1=54$ Проверка: $45(10+54)/2=1440$