Шаг в будущее 2025/26 · Математика · 9 кл., №6

Условие

$ABCD$ –выпуклый четырёхугольник. Диагонали пересекаются в точке $O$ Сторона $AB=6$ $AO=8$ $OC=3$ $DO=6$ $BO=4$ Найдите квадрат стороны $AD$

Исходная геометрия; дополнительное построение показано в решении.

О задаче · 9 класс · 12 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Математика · 9 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Отборочный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 6

Официальные баллы12 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 9 класс.

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюПостроение по шагам

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Один угол связывает две стороны

Сначала выделите треугольник с тремя известными сторонами, затем треугольник с искомой стороной. Диагонали остаются теми же.

1. Находим косинус AOB

В $AOB$ известны $8$ $4$ и $6$ Находим $\cos\theta=\frac{11}{16}$

2. Переходим к AOD

$\angle AOD=180^\circ-\theta$ , поэтому его косинус равен $-\frac{11}{16}$

Переключение показывает шаги одного построения. Все состояния доступны статично; данные задачи не меняются.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Треугольник $AOB$ известен по трём сторонам. Найдите косинус угла при $O$

Подсказка 2

Лучи $OB$ и $OD$ противоположны. Как связаны косинусы углов $AOB$ и $AOD$

Разобрать решение по шагам

Найдём угол между диагоналями

Обозначим $\angle AOB=\theta$ В треугольнике $AOB$ известны три стороны, поэтому теорема косинусов позволяет определить угол между диагоналями. Она связывает квадрат стороны с двумя другими сторонами и углом между ними:

AB^2=AO^2+BO^2-2AO\cdot BO\cos\theta.

Подставляем данные и выделяем косинус:

\begin{aligned}36&=64+16-64\cos\theta,\\[0.45em]64\cos\theta&=44,\\[0.45em]\cos\theta&=\frac{11}{16}.\end{aligned}

Первая теорема косинусов относится только к треугольнику AOB.

Перейдём к соседнему углу

В выпуклом четырёхугольнике точка $O$ лежит внутри обеих диагоналей. Лучи $OB$ и $OD$ противоположны, поэтому углы $AOB$ и $AOD$ в сумме дают $180^\circ$ Их косинусы противоположны: $\cos\angle AOD=-11/16$

OB и OD — противоположные лучи; для второй теоремы нужен соседний угол AOD.

Вычислим нужный квадрат стороны

Ещё раз применим теорему косинусов, теперь в треугольнике $AOD$

AD^2=8^2+6^2-2\cdot8\cdot6\left(-\frac{11}{16}\right)=100+66=166.

Длина $OC$ для этого вычисления не требуется.

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

$AD^2=166$

Главная идея

Дважды применить теорему косинусов: сначала восстановить угол по известному треугольнику, затем использовать его смежный угол.

Как заметить эту идею в другой задаче

Длины частей пересекающихся диагоналей вместе с одной стороной позволяют перенести информацию через угол их пересечения.

Возможная ошибка

Подставить в треугольник $AOD$ тот же положительный косинус: смежный угол имеет противоположный косинус.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 3 · задача 6 ↗

Шаг в будущее · 2025/26 · математика · 9 класс · отборочный этап · вариант 1.

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Треугольники и углы →

Тема, знания и приёмы

Треугольники и углы · Нужна школьная база

Теорема косинусов
Смежные углы и их косинусы

Приёмы решения: Дополнительное построение

Задать вопрос по задаче →