Два корня и целые значения параметра

Раскроем модуль по обе стороны запрета

Уравнение определено только при $x\ne3$; $\sqrt{(x-3)^2}=|x-3|$. При $x<3$ отношение $\frac{|x-3|}{x-3}=-1$. Получаем

При $x>3$ отношение равно $1$:

Выразим параметр через возможный корень

Равенство $|x-a|=F(x)$ при $F(x)\ge0$ означает $a=x+F(x)$ или $a=x-F(x)$. Для $x<3$ правая часть неотрицательна только при $L\le x<3$, где $L=2-\sqrt3$. Поэтому нужно рассмотреть две параболы на этом промежутке:

У первой максимум $21/4$ при $x=5/2$, у второй минимум $-5/4$ при $x=3/2$. В левом конце обе дают $a=L$. При запрещённом правом конце $x=3$ их значения равны соответственно $5$ и $1$.

Посчитаем пересечения на левом промежутке

Горизонтальная прямая с заданным значением $a$ пересекает возрастающую или убывающую часть каждой параболы не более одного раза. На промежутке $[-5/4,L]$ основную роль играет вторая парабола: в её минимуме один корень, выше — два. При $a=L$ левый корень обеих парабол совпадает и считается один раз. Для $L<a<1$ остаётся по одному корню каждой параболы. Поэтому ровно два корня получаются при $-5/4<a<1$. Второй случай двух пересечений даёт первая парабола при $5<a<21/4$. При $a=1$ или $a=5$ один из возможных корней равен запрещённому $3$; при $a=21/4$ две точки сливаются в вершине.

Проверим правый промежуток и целые параметры

При $x>3$ получаем $a=x^2-x+5$ или $a=-x^2+3x-5$. Первая ветвь строго возрастает от $11$ до бесконечности, вторая строго убывает от $-5$ до минус бесконечности. Поэтому справа ровно один корень при $a>11$ или $a<-5$, и ни одного при остальных параметрах. В этих двух внешних промежутках слева корней нет. Итак, ровно два решения исходного уравнения имеют место при

Целые значения здесь — $-1$ и $0$, их сумма равна $-1$.