Шаг в будущее 2025/26 · Математика · 9 кл., №3

Условие

При каких значениях параметра $p$ уравнение $p(x^2+4x+4)^2-(3p^2+2)(x^2+4x+4)(x-1)+6p(x^2-2x+1)=0$ имеет хотя бы одно решение.

О задаче · 9 класс · 15 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Математика · 9 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 3

Официальные баллы15 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy4/5 · предварительно

Для подготовки: 9 класс.

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Параметр и число корней

Каждая ветвь имеет вид $(x+2)^2=k(x-1)$ Корни существуют при $k(k-12)\ge0$ Здесь считаем различные действительные корни исходного уравнения.

Параметр p = 0

Точные граничные значения выбираются кнопками. Остальные численные корни округлены; ползунок — иллюстрация, а доказательство множества параметров приведено выше.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Выделите повторяющиеся выражения $(x+2)^2$ и $x-1$ Попробуйте разложить левую часть на два множителя.

Подсказка 2

После разложения обе ветви сводятся к $(x+2)^2=k(x-1)$ Найдите условие на $k$ по дискриминанту, отдельно проверив $p=0$

Разобрать решение по шагам

Сгруппируем повторяющиеся выражения

Повторяются квадрат $x^2+4x+4=(x+2)^2$ и выражение $x-1$ кроме того, $x^2-2x+1=(x-1)^2$ Чтобы видеть структуру, временно обозначим

A=(x+2)^2,\qquad B=x-1.

Тогда левая часть равна

\begin{aligned}pA^2-(3p^2+2)AB+6pB^2 &=pA^2-3p^2AB-2AB+6pB^2\\[0.45em] &=pA(A-3pB)-2B(A-3pB)\\[0.45em] &=(A-3pB)(pA-2B). \end{aligned}

Возвращаем исходные выражения:

\bigl((x+2)^2-3p(x-1)\bigr)\bigl(p(x+2)^2-2(x-1)\bigr)=0.

Мы пока не делили ни на $p$ ни на $B=x-1$ корни не потеряны.

Отдельно проверим нулевой параметр

При $p=0$ уравнение превращается в $-2(x+2)^2(x-1)=0$ Есть корни $x=-2$ и $x=1$ поэтому $p=0$ подходит.

Найдём условие для каждой квадратной ветви

При $p\ne0$ хотя бы один множитель должен быть нулём:

(x+2)^2=3p(x-1)\quad\text{или}\quad(x+2)^2=\frac2p(x-1).

Обе ветви имеют вид $(x+2)^2=k(x-1)$ После раскрытия скобок это $x^2+(4-k)x+4+k=0$ Действительный корень существует тогда и только тогда, когда дискриминант неотрицателен:

D=(4-k)^2-4(4+k)=k(k-12)\ge0.

Значит, $k\le0$ или $k\ge12$

Объединим подходящие параметры

При $p<0$ коэффициенты $3p$ и $2/p$ отрицательны, так что корни есть. При $p>0$ требуется $3p\ge12$ или $2/p\ge12$ то есть $p\ge4$ или $0<p\le1/6$ Добавляя уже проверенное $p=0$ получаем

p\in(-\infty,1/6]\cup[4,+\infty).

На границах дискриминант одной из ветвей равен нулю, но один действительный корень достаточен.

Дополнительно: сколько именно корней показывает ось

При $p\ne0$ каждая ветвь имеет вид $(x+2)^2=k(x-1)$ При $k<0$ или $k>12$ она даёт два разных корня, при $k=12$ — один. Два множителя могут иметь общий корень только при $3p=\frac2p$ иначе из их разности следует $x=1$ но тогда $(x+2)^2=9\ne0$ Из отрицательных параметров ветви совпадают лишь при $p=-\sqrt{\frac23}$ там разных корней два, а не четыре. При $p=0$ отдельно найдены два корня $-2$ и $1$ Эти проверки объясняют число разных корней на оси. Для первоначального вопроса достаточно объединения промежутков, где это число положительно.