Шаг в будущее 2025/26 · Математика · 9 кл., №5

Условие

Около треугольника $ABC$ описана окружность $\omega_1$ $O$ — центр окружности $\omega_2$ вписанной в треугольник $ABC$ Прямая $AO$ пересекает $BC$ в точке $K$ и второй раз окружность $\omega_1$ в точке $N$ Найдите длину $AO$ если $AB=1{,}5BK$ и $KN=4$

Обе окружности и прямая AOKN заданы условием. Хорда CN и отрезок BO будут построены в соответствующих шагах.

О задаче · 9 класс · 20 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Математика · 9 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 5

Официальные баллы20 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy4/5 · предварительно

Для подготовки: 9 класс.

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюПостроение по шагам

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Биссектрису используем дважды

Первый раз работаем со всем ABC, затем — с меньшим ABK. Между этими шагами хорды связывают произведения длин.

1. Деление стороны BC

$\frac{BK}{KC}=\frac{AB}{AC}$ . Выделены две части исходного треугольника.

2. Хорда CN и подобие

Теперь видны $ABK$ и $ANC$ из их подобия $AB\cdot AC=AK\cdot AN$

3. Биссектриса BO в ABK

$\frac{AO}{OK}=\frac{AB}{BK}=\frac32$ . Из найденного $AK=5$ получаем $AO=3$

Переключение показывает шаги одного построения. Все состояния доступны статично; данные задачи не меняются.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

По теореме о биссектрисе найдите отношение $KC/AC$ используя данное отношение $BK/AB$

Подсказка 2

Произведение $BK\cdot KC$ связано с $AK\cdot KN$ через пересекающиеся хорды. Подобие треугольников $ABK$ и $ANC$ даст второе полезное произведение.

Разобрать решение по шагам

Используем деление стороны биссектрисой

Поскольку $O$ — центр вписанной окружности, $AK$ является биссектрисой угла $A$ По теореме о биссектрисе $BK/KC=AB/AC$ Из $AB=\frac32BK$ следует $BK/AB=KC/AC=2/3$ поэтому

BK\cdot KC=\frac49 AB\cdot AC.

Биссектриса AK делит сторону BC в отношении соседних сторон.

Свяжем произведения с отрезками биссектрисы

Пересекающиеся хорды $AN$ и $BC$ дают

AK\cdot KN=BK\cdot KC.

Нужно связать второе произведение с $AB\cdot AC$ Для этого проведём $CN$ Треугольники $ABK$ и $ANC$ подобны: углы при $A$ равны благодаря биссектрисе, а $\angle ABK=\angle ANC$ как вписанные углы, опирающиеся на дугу $AC$ Соответственные стороны дают

\frac{AB}{AN}=\frac{AK}{AC},\qquad AB\cdot AC=AK\cdot AN.

Добавлена хорда CN; выделены именно подобные треугольники ABK и ANC.

Найдём длину AK

Подставим оба произведения в соотношение первого шага:

AK\cdot KN=\frac49 AK\cdot AN.

Отрезок $AK$ положителен, значит, его можно сократить. Точки идут в порядке $A,K,N$ поэтому $AN=AK+KN$

\begin{aligned}9KN&=4AN=4(AK+KN),\\[0.45em]5KN&=4AK,\\[0.45em]AK&=\frac54\cdot4=5.\end{aligned}

Определим положение центра вписанной окружности

Центр вписанной окружности находится внутри треугольника, значит, $O$ лежит между $A$ и $K$ Луч $BO$ делит угол $ABK$ пополам: луч $BK$ совпадает с $BC$ Применяем теорему о биссектрисе уже к треугольнику $ABK$