Шаг в будущее 2025/26 · Математика · 9 кл., №6

Условие

Иллюминатор представляет собой двухкамерный стеклопакет (три однородных одинаковых стекла). Определите, какой процент света пропускает стеклопакет внутрь корабля, если одно стекло пропускает 60% попадающего на него света

Даны три одинаковых стекла и пропускание каждого. Пути непрошедшего света условием не определены.

О задаче · 9 класс · 20 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Математика · 9 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 6

Официальные баллы20 баллов

Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 9 класс.

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюПостроение по шагам

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Две разные модели света

Это переключение допущений, а не течение времени. Коэффициент пропускания одного стекла сам по себе не задаёт отражение и поглощение.

1. Свет поглощается

Предполагаем отсутствие отражения: доли после стёкол равны $0{,}6$ $0{,}36$ $0{,}216$ Итог — $21{,}6\%$

2. Есть многократные отражения

Предполагаем отсутствие поглощения: $t=\frac35$ $r=\frac25$ Повтор между первыми двумя стёклами даёт множитель $r^2$ после учёта третьего итог — $\frac13$

Переключение показывает шаги одного построения. Все состояния доступны статично; данные задачи не меняются.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Что происходит со светом, который не прошёл сквозь стекло: он обязательно отражается?

Подсказка 2

Если свет отражается между стёклами несколько раз, интенсивности вышедших порций образуют геометрическую последовательность.

Разобрать решение по шагам

Что известно и чего не хватает

Пропускание $60\%$ означает: сквозь одно стекло проходит доля $t=\frac35$ падающего света. Оставшиеся $\frac25$ могут поглощаться, отражаться или частично делать и то и другое. В условии это не уточнено. Поэтому единственного процента для трёх стёкол из одной только этой цифры не следует. Рассмотрим две явно названные модели. Во всех дальнейших вычислениях интенсивность исходного света принята за $1$

Модель 1: непрошедший свет поглощается

Если каждое стекло поглощает оставшиеся $40\%$ и не отражает свет назад, после первого стекла остаётся $\frac35$ после второго — $\left(\frac35\right)^2$ после третьего —

T=\left(\frac35\right)^3=\frac{27}{125}=0{,}216.

Ответ этой модели — $21{,}6\%$ Она совместима с напечатанным коэффициентом пропускания.

Отдельная модель поглощения: возвращающихся лучей нет.

Модель 2: поглощения нет, сначала два стекла

Теперь дополнительно предполагаем: стекло одинаково работает с обеих сторон, пропускает $t=\frac35$ и отражает $r=\frac25$ поглощения нет. Учитываем многократные отражения интенсивности, без волновой интерференции. Через два стекла сразу проходит $t^2$ Свет, сделавший между ними один полный путь туда и обратно, получает ещё множитель $r^2$ и затем тоже выходит вправо. Поэтому

T_2=t^2+t^2r^2+t^2r^4+\cdots=\frac{t^2}{1-r^2}=\frac{t}{1+r}=\frac37.

Здесь использована сумма геометрической последовательности: если $S=1+q+q^2+\cdots$ и $0\le q<1$ то $S-qS=1$ значит, $S=\frac1{1-q}$ Поглощения нет, поэтому оставшаяся доля отражается: $R_2=1-T_2=\frac47$

Модель отражения: наклон лучей условно разделяет пути на схеме; каждый полный повтор между двумя стёклами даёт множитель r².

Добавим третье стекло

Пару первых стёкол рассматриваем как один блок. При первом проходе через блок и третье стекло выходит $T_2t$ Каждый полный повтор между блоком и третьим стеклом добавляет множитель $R_2r$ Следовательно,

T_3=\frac{T_2t}{1-R_2r}=\frac{\frac37\cdot\frac35}{1-\frac47\cdot\frac25}=\frac{\frac9{35}}{\frac{27}{35}}=\frac13.

В процентах это $\frac{100}{3}\%$ Именно такую модель использует официальный разбор на страницах $10$ – $11$ хотя отсутствие поглощения не указано в исходном условии.

Сформулируем ответ без подмены условия

Буквальное условие не определяет единственный результат. При отсутствии отражения и поглощении непрошедшего света получаем $21{,}6\%$ при отсутствии поглощения с повторными отражениями — $\frac{100}{3}\%$ Это разные допущения, а не два способа получить один обязательный ответ.

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

Однозначного ответа без модели потерь нет. Полное поглощение непрошедших $40\%$ $21{,}6\%$ Отражение $40\%$ без поглощения: $\frac{100}{3}\%$

Главная идея

Прежде чем перемножать вероятности или коэффициенты, нужно определить все возможные пути. Возвратные пути дают геометрическую последовательность.

Как заметить эту идею в другой задаче

Когда после неудачного прохода возможен повтор, сначала нарисуйте цикл возвращения и найдите множитель одного полного цикла.

Возможная ошибка

Нельзя из пропускания 60% автоматически заключать, что остальные 40% отражаются: часть энергии может поглощаться.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 10 · задача 6 ↗

Шаг в будущее · 2025/26 · математика · 9 класс · заключительный этап · вариант 1.

Авторский разбор Popov Academy.

Примечания к источнику

Источник сообщает пропускание 60%, но не разделяет отражение и поглощение. Официальный ответ использует дополнительную модель без поглощения. Обе трактовки разобраны отдельно.

Можете объяснить решение своими словами?

Тема, знания и приёмы

Доли, отношения и проценты · Нужна школьная база

Дроби и пропорции
процент как сотая часть

Приёмы решения: Переход от шага к следующему

Задать вопрос по задаче →