Середина диагонали делит площадь пополам

Возьмём диагональ BD за общее основание

Обозначим длину $BD$ через $d$, а расстояния от вершин $A$ и $C$ до прямой $BD$ через $h_A$ и $h_C$. В выпуклом четырёхугольнике эти вершины лежат по разные стороны диагонали. Поэтому

Используем середину другой диагонали

Пусть $E\in AB$, $F\in AD$. Прямая $EF$ проходит через середину $M$ отрезка $AC$ и параллельна $BD$. Почему здесь появляется сумма высот? Расстояние между параллельными прямыми через $A$ и $C$ равно $h_A+h_C$: диагональ $BD$ находится между ними. Середина отрезка $AC$ находится и посередине между этими параллельными прямыми. Поэтому расстояние от $A$ до $EF$ равно $\frac{h_A+h_C}{2}$. Треугольники $AEF$ и $ABD$ подобны: угол $A$ общий, $EF\parallel BD$. Отношение сторон равно отношению высот:

Сравним площади частей

Треугольники $ABF$ и $ABD$ имеют основания $AF$ и $AD$ на одной прямой и общую высоту из $B$. Значит,

Четырёхугольник $BCDF$ — оставшаяся половина площади. Поэтому $S_{ABCD}=2\cdot5=10$.