Шаг в будущее 2025/26 · Математика · 9 кл., №4

Условие

Два пешехода одновременно выходят из одного пункта и идут в одном направлении (скорость первого больше скорости второго). Через некоторое время из того же пункта в том же направлении выдвигается третий пешеход. Через $4$ часа после старта первых двух пешеходов он оказывается ровно посередине между первым и вторым пешеходами, а ещё через $2$ часа после этого третий пешеход догнал первого, после чего сразу развернулся и пошёл в обратном направлении, встретив второго пешехода через $36$ минут после того, как сменил направление движения. Определите: а) через какое время после старта первых двух пешеходов вышел в путь третий? б) во сколько раз скорость первого пешехода больше скорости второго?

О задаче · 9 класс · 15 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Математика · 9 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 4

Официальные баллы15 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 9 класс.

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Одна дорога — одни часы

Модель показывает найденное решение. Единица пути — путь второго пешехода за час; это выбор масштаба, а не утверждение о его скорости в километрах.

В этом масштабе $v=1$ $u=\frac54$ $w=\frac32$ задержка $\tau=1$ ч.

Общее время 0 ч

Статичные ключевые кадры

Третий ещё не вышел.

Цвета и номера совпадают на дороге и на графике: 1 — первый, 2 — второй, 3 — третий. Ползунок меняет время одновременно на обеих схемах.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Поставьте начало координат в пункте старта. Для третьего пешехода время движения до разворота меньше общего времени на его задержку.

Подсказка 2

Сначала вычтите равенства координат в моменты $4$ и $6$ часов: задержка исчезнет. Затем используйте встречу после разворота.

Разобрать решение по шагам

Запишем два положения третьего пешехода

Отсчитываем время от общего старта первых двух, координаты — от пункта отправления. Пусть скорости первого, второго, третьего равны $u,v,w$ задержка третьего — $\tau$ часов. Координата — скорость, умноженная на время движения. В момент $t=4$ третий находится в середине между первыми двумя; в момент $t=6$ догоняет первого:

\begin{aligned}w(4-\tau)&=\frac{4u+4v}{2}=2(u+v),\\[0.45em]w(6-\tau)&=6u.\end{aligned}

Вычтем первое равенство из второго. Неизвестная задержка сократится:

2w=6u-2u-2v=4u-2v,\qquad w=2u-v.

Используем встречу после разворота

Разворот происходит при $t=6$ встреча со вторым — через $36$ минут, то есть через $\frac35$ часа. За это время третий идёт назад, поэтому его координата уменьшается:

6u-\frac35w=\frac{33}{5}v.

Умножаем на $5$ и делим на $3$

30u-3w=33v,\qquad10u-w=11v.

Найдём отношение скоростей

Подставим выражение для $w$ найденное по первым двум событиям:

\begin{aligned}10u-(2u-v)&=11v,\\[0.45em]8u+v&=11v,\\[0.45em]8u&=10v.\end{aligned}

Поскольку пешеходы движутся, $v>0$ Поэтому

\frac uv=\frac54,\qquad w=2u-v=\frac32v.

Получили $w>u>v$ третий действительно способен догнать первого.

Восстановим задержку старта

Из $w(6-\tau)=6u$ получаем

6-\tau=\frac{6u}{w}=\frac{6\cdot(5/4)}{3/2}=5.

Следовательно, $\tau=1$ час. Проверка в момент $4$ часов: $w(4-1)=\frac92v=2(u+v)$

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

а) Через $1$ час; б) в $\frac{5}{4}=1{,}25$ раза.

Главная идея

Вычитанием двух положений убрать время задержки и связать скорости; разворот даёт вторую связь.

Как заметить эту идею в другой задаче

Если движение с поздним стартом наблюдается в два момента, разность координат часто позволяет найти скорость без знания задержки.

Возможная ошибка

После разворота продолжить прибавлять путь третьего или записать для второго только $0{,}6$ часа вместо полного времени $6{,}6$

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 6 · задача 4 ↗

Шаг в будущее · 2025/26 · математика · 9 класс · заключительный этап · вариант 1.

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Задачи на движение →

Тема, знания и приёмы

Задачи на движение · Нужна школьная база

Путь как произведение скорости на время
перевод единиц времени

Приёмы решения: Относительное движение

Задать вопрос по задаче →