Шаг в будущее 2025/26 · Математика · 9 кл., №1

Условие

Решите уравнение:

3\left|\frac{x-1}{x^2-4}\right|+|1-x|=\frac{(x-1)^2|x+1|}{|4-x^2|}

О задаче · 9 класс · 15 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Математика · 9 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 1

Официальные баллы15 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 9 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Сначала запишите ограничения знаменателей. Затем умножьте уравнение на $|x^2-4|$

Подсказка 2

В обеих частях появится множитель $|x-1|$ Его нулевое значение рассмотрите отдельно; для остальных корней сравните $x^2$ с $1$ и $4$

Разобрать решение по шагам

Уберём знаменатели, сохранив ограничения

Требуется $x\ne-2$ и $x\ne2$ Умножим уравнение на положительное число $|x^2-4|$ Поскольку $|1-x|=|x-1|$ получим

3|x-1|+|x-1|\,|x^2-4|=(x-1)^2|x+1|.

Справа можно записать $|x-1|\,|x^2-1|$ поэтому

|x-1|\bigl(3+|x^2-4|-|x^2-1|\bigr)=0.

Сначала сохраним отдельный корень

Первый множитель равен нулю при $x=1$ в исходном уравнении обе части действительно равны нулю. Деление на $|x-1|$ сразу потеряло бы этот корень. При $x\ne1$ делить уже можно; остаётся

3+|x^2-4|=|x^2-1|.

Разберём положения квадрата относительно двух чисел

Положим $z=x^2\ge0$ Знаки выражений под модулями меняются в точках $1$ и $4$ поэтому получаем три случая:

\begin{array}{c|c|c}z&3+|z-4|=|z-1|&\text{вывод}\\\hline z\ge4&3+z-4=z-1&\text{верно всегда}\\1\le z<4&7-z=z-1&z=4\text{ не входит}\\0\le z<1&7-z=1-z&7=1\text{ невозможно}\end{array}

Следовательно, во второй ветви необходимо и достаточно $x^2\ge4$

Вернём исходные ограничения

Значения $x=\pm2$ исключены знаменателями. Поэтому вторая ветвь даёт $x<-2$ или $x>2$ Вместе с отдельным корнем $1$ получаем окончательное множество решений.

Ответ

$x\in(-\infty,-2)\cup\{1\}\cup(2,+\infty)$ .

Главная идея

Вынести общий модуль, сохранить его нулевой корень и решить оставшееся равенство по трём промежуткам.

Как заметить эту идею в другой задаче

Если все слагаемые содержат один модуль, его вынесение может отделить отдельный корень от целых промежутков решений.

Возможная ошибка

Разделить на $|x-1|$ и потерять корень $1$ либо включить запрещённые $\pm2$

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 1 · задача 1 ↗

Шаг в будущее · 2025/26 · математика · 9 класс · заключительный этап · вариант 1.

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Модуль и целая часть →

Тема, знания и приёмы

Модуль и целая часть · Нужна школьная база

Модуль числа
неравенства и числовая прямая

Приёмы решения: Разложение на множители · Разбор случаев

Задать вопрос по задаче →