Шаг в будущее 2025/26 · Математика · 8 кл., №3

Условие

Угол $BAC$ равен $30^\circ$ Из точки $B$ на сторону $AC$ опущен перпендикуляр $BE$ из точки $E$ на сторону $AB$ опущен перпендикуляр $EF$ из точки $F$ на сторону $AC$ опущен перпендикуляр $FK$ из точки $K$ на сторону $AB$ опущен перпендикуляр $KM$ Найдите площадь треугольника $AMK$ если площадь треугольника $ABE$ равна $64$

Все четыре перпендикуляра заданы условием. Площади новых треугольников пока не отмечены.

О задаче · 8 класс · 9 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Математика · 8 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Отборочный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 3

Официальные баллы9 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 8 класс.

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюПостроение по шагам

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Три перехода площади

Переключайте подсвеченный треугольник: форма сохраняется, а площадь каждый раз умножается на один и тот же коэффициент.

1. Исходный ABE

$S_{ABE}=64$ Гипотенуза первого треугольника — $AB$

2. Первый переход: AEF

$S_{AEF}=64\cdot\frac34=48$ . Гипотенузой стала прежняя проекция $AE$

3. Второй переход: AFK

$S_{AFK}=48\cdot\frac34=36$ . Снова прямой угол и тот же угол при $A$

4. Третий переход: AKM

$S_{AKM}=36\cdot\frac34=27$ . От первой площади до последней именно три перехода.

Все состояния доступны и без анимации. Построения сохраняют исходные длины и углы.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Сравните прямоугольные треугольники $ABE$ и $AEF$ какой угол у них общий?

Подсказка 2

Найдите отношение квадратов их гипотенуз. Затем сосчитайте, сколько таких переходов отделяет $ABE$ от $AKM$

Разобрать решение по шагам

Сравним первые два треугольника

Треугольники $ABE$ и $AEF$ прямоугольные, с общим углом $A=30^\circ$ поэтому подобны. Их гипотенузы — $AB$ и $AE$ В первом треугольнике катет против $30^\circ$ равен половине гипотенузы:

BE=\frac{AB}{2}.

По теореме Пифагора

AE^2=AB^2-\left(\frac{AB}{2}\right)^2=\frac34AB^2.

У подобных треугольников площади относятся как квадраты соответствующих сторон. Значит,

\frac{S_{AEF}}{S_{ABE}}=\left(\frac{AE}{AB}\right)^2=\frac34.

Первый новый треугольник AEF: его гипотенуза AE была катетом исходного ABE.

Повторим тот же переход

После первого перехода площадь стала $64\cdot\frac34=48$ После второго — $48\cdot\frac34=36$ При каждой новой проекции сохраняются прямой угол и угол $A=30^\circ$ поэтому коэффициент площади остаётся тем же. От исходного треугольника до нужного три перехода:

ABE\longrightarrow AEF\longrightarrow AFK\longrightarrow AKM.

Следующая проекция даёт AFK; прежние точки остаются на месте.

Вычислим площадь

От первого треугольника до последнего три одинаковых перехода, значит,

S_{AMK}=64\left(\frac34\right)^3=64\cdot\frac{27}{64}=27.

Последним выделен именно треугольник AMK.

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

$27$

Главная идея

При последовательных проекциях возникают подобные треугольники, и площадь каждый раз меняется в одном и том же отношении.

Как заметить эту идею в другой задаче

Несколько перпендикуляров, поочерёдно опущенных на стороны одного угла, создают повторяющиеся подобные фигуры.

Возможная ошибка

Умножить площадь на отношение длин вместо его квадрата или сосчитать четыре перехода вместо трёх.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 2 · задача 3 ↗

Шаг в будущее · 2025/26 · математика · 8 класс · отборочный этап · вариант 1.

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Следующий учебный шаг

Попробуй похожую задачу

Точка на стороне четырёхугольника →

Росатом · № 5

Сложность 3/5 · предварительная оценка

Продолжить тему: Площади →

Тема, знания и приёмы

Площади · Нужна школьная база

Площади прямоугольника и треугольника
основание и высота

Приёмы решения: Подобие треугольников · Сравнение площадей по основанию и высоте

Задать вопрос по задаче →