Шаг в будущее 2025/26 · Математика · 8 кл., №6

Условие

Баба Яга и Кощей Бессмертный варили эликсир молодости. Они смешали отвар корня женьшеня, настойку золотого уса и сок ягод аронии в отношении $3:2:5$ Баба Яга проверила зелье на себе, выпила $150$ мл эликсира и для лучшего эффекта решила добавить $100$ мл настойки золотого уса и $130$ мл талой воды. Концентрация золотого уса в новом эликсире не должна превышать $25\%$ Сколько мл сока ягод аронии было в эликсире первоначально, если первоначальное количество настойки золотого уса было не больше $200$ мл.

О задаче · 8 класс · 12 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Математика · 8 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Отборочный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 6

Официальные баллы12 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 8 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Обозначьте исходный объём через $V$ Какая доля смеси приходилась на золотой ус?

Подсказка 2

В выпитой порции сохраняется исходная концентрация. Составьте отдельно выражения для общего объёма и объёма золотого уса после добавлений.

Разобрать решение по шагам

Обозначим первоначальный объём

Например, в $100$ мл смеси с отношением $3:2:5$ находится $20$ мл золотого уса и $50$ мл аронии: всего десять равных частей. Поэтому при исходном объёме $V$ мл золотого уса было $\frac V5$ мл, а аронии — $\frac V2$ мл. Ограничение на золотой ус даёт

\frac V5\le200\quad\Longrightarrow\quad V\le1000.

Учтём выпитую порцию

Смесь однородна, поэтому в выпитых $150$ мл было $150/5=30$ мл золотого уса. После добавлений общий объём стал $V-150+100+130=V+80$ а объём золотого уса — $V/5-30+100=V/5+70$

Состояние	Общий объём, мл	Золотой ус, мл
Изначально	$V$	$\frac V5$
После выпитых $150$ мл	$V-150$	$\frac V5-30$
После добавок	$V+80$	$\frac V5+70$

Используем ограничение концентрации

Общий объём $V+80$ положителен: исходно жидкости должно быть не меньше выпитых $150$ мл. Условие концентрации даёт

\frac{\frac V5+70}{V+80}\le\frac14.

Умножаем на положительное $4(V+80)$ и последовательно переносим слагаемые:

\begin{aligned}\frac{4V}{5}+280&\le V+80,\\[0.45em]200&\le\frac V5,\\[0.45em]V&\ge1000.\end{aligned}

С другой стороны, уже получено $V\le1000$ Поэтому $V=1000$ а первоначальный объём сока аронии

\frac V2=500\text{ мл}.

Ответ

$500$ мл.

Главная идея

Ограничения на исходный объём и новую концентрацию дают две противоположные границы одного неизвестного.

Как заметить эту идею в другой задаче

В задачах о смеси после отбора и добавлений удобно вести отдельно объём всей смеси и объём нужного компонента.

Возможная ошибка

Вычесть выпитые $150$ мл только из общего объёма, сохранив весь золотой ус в сосуде.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 3 · задача 6 ↗

Шаг в будущее · 2025/26 · математика · 8 класс · отборочный этап · вариант 1.

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Доли, отношения и проценты →

Тема, знания и приёмы

Доли, отношения и проценты · Нужна школьная база

Дроби и пропорции
процент как сотая часть

Приёмы решения: Баланс сохраняемой величины · Оценка и достижимость

Задать вопрос по задаче →