Шаг в будущее 2025/26 · Математика · 8 кл., №1

Условие

Найти количество пар целых чисел $x,y$ удовлетворяющих уравнению $x^2+2030=y^2$

О задаче · 8 класс · 9 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Математика · 8 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Отборочный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 1

Официальные баллы9 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy2/5 · предварительно

Для подготовки: 8 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Рассмотрите отдельно квадрат чётного и квадрат нечётного числа.

Подсказка 2

Квадрат целого числа даёт остаток $0$ или $1$ при делении на $4$ Составьте четыре сочетания остатков двух квадратов. Может ли их разность дать остаток $2$

Разобрать решение по шагам

Проверим препятствие до перебора пар

Перенесём квадрат в правую часть:

y^2-x^2=2030.

Поскольку $2030=4\cdot507+2$ справа число с остатком $2$ при делении на $4$ Может ли разность квадратов иметь такой остаток? Если нет, это сразу исключит все целые пары — даже очень большие и отрицательные.

У квадратов всего два возможных остатка

Например, $2^2=4$ и $4^2=16$ делятся на $4$ а $1^2=1$ и $3^2=9$ дают остаток $1$ Чтобы доказать это для любого целого числа, запишем чётное число как $2k$ нечётное — как $2k+1$

\begin{aligned} (2k)^2&=4k^2,\\[0.45em] (2k+1)^2&=4k^2+4k+1\\[0.45em] &=4k(k+1)+1. \end{aligned}

Здесь $k$ может быть и отрицательным. Значит, рассуждение охватывает все целые числа.

Посмотрим все четыре сочетания чётности

Вычитаем остаток квадрата $x$ из остатка квадрата $y$ Если получается $-1$ обычный неотрицательный остаток равен $3$ число $4q-1$ можно записать как $4(q-1)+3$

$x$	$y$	Вычитание остатков $y^2-x^2$	Остаток при делении на $4$
чётное	чётное	$0-0=0$	$0$
чётное	нечётное	$1-0=1$	$1$
нечётное	чётное	$0-1=-1$	$3$
нечётное	нечётное	$1-1=0$	$0$

Сравним с требуемым остатком

В таблице встречаются только остатки $0$ $1$ и $3$ Остатка $2$ который есть у $2030$ нет. Равенство невозможно, значит, целых пар $(x,y)$ нет. Это доказательство для всех целых чисел, а не проверка конечного списка примеров.

Ответ

$0$ пар.

Главная идея

Квадраты целых чисел имеют только два возможных остатка при делении на четыре.

Как заметить эту идею в другой задаче

Когда уравнение связывает квадраты целых чисел, полезно проверить их возможные остатки при делении на небольшое число. Если остатки двух сторон несовместимы, никакой перебор не нужен.

Возможная ошибка

Доказать утверждение только на нескольких положительных примерах, не проверив все целые числа.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 1 · задача 1 ↗

Шаг в будущее · 2025/26 · математика · 8 класс · отборочный этап · вариант 1.

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Остатки и последние цифры →

Тема, знания и приёмы

Остатки и последние цифры · Нужна школьная база

Чётность целых чисел
Деление с остатком
Квадрат целого числа

Приёмы решения: Сравнение остатков

Задать вопрос по задаче →