Шаг в будущее 2025/26 · Математика · 8 кл., №5

Условие

В равнобедренном треугольнике АВС на основании AC отметили точку М так, что ВМ=6 и ∠BMC=60°. Оказалось, что биссектриса угла ВМС параллельна стороне АВ. Вычислите длину стороны АС

Заданные отрезок BM и биссектриса. Высота и вычисленные углы появятся только в решении.

О задаче · 8 класс · 12 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Математика · 8 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Отборочный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 5

Официальные баллы12 баллов

Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 8 класс.

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюПостроение по шагам

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

От биссектрисы к основанию

Рисунок относится к буквальному условию. Сохранённое расхождение с официальным ответом не снимается переключением модели.

1. Параллельная биссектриса

$ML\parallel AB$ поэтому $\angle BAC=\angle LMC=30^\circ$ . Равнобедренность даёт такой же угол при $C$

2. Строим высоту

$BH\perp AC$ Она принадлежит обоим нужным прямоугольным треугольникам $BMH$ и $BAH$

3. Две половины основания

$AH=HC=9$ поэтому по буквальному условию $AC=18$ Официальный ответ $12$ остаётся отмеченным конфликтом.

Все состояния доступны и без анимации. Построения сохраняют исходные длины и углы.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Найдите угол между биссектрисой угла BMC и основанием. Используйте параллельность с AB.

Подсказка 2

Опустите высоту BH. Сначала вычислите её по BM, затем половину основания по углу A.

Разобрать решение по шагам

Биссектриса задаёт угол при основании

Обозначим луч биссектрисы угла $BMC$ через $ML$ Тогда

\angle LMC=\frac12\angle BMC=30^\circ.

Поскольку $ML\parallel AB$ а $MC$ лежит на основании $AC$ получаем $\angle BAC=30^\circ$ Треугольник равнобедренный, поэтому $\angle BCA=30^\circ$

L — имя точки на заданной биссектрисе, введённое в этом шаге.

Высота следует из отрезка BM

Опустим $BH\perp AC$ Из $\angle BMC=60^\circ$ следует, что $H$ лежит на луче $MC$ В прямоугольном треугольнике $BMH$ гипотенуза $BM=6$ Катет против угла $30^\circ$ равен её половине:

MH=3,\qquad BH=\sqrt{BM^2-MH^2}=\sqrt{36-9}=3\sqrt3.

Добавлена только высота BH; её основание H лежит правее M.

Восстановим основание

В равнобедренном треугольнике высота $BH$ является медианой, значит, $AH=HC$ Угол $BAH=30^\circ$ поэтому

AB=2BH=6\sqrt3.

Снова по теореме Пифагора:

AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{108-27}=9,\qquad AC=2AH=18.

Медиана BH делит основание на две найденные равные части.

Проверим конфигурацию

При $AH=9$ и $MH=3$ точка $M$ действительно лежит внутри основания: $AM=9-3=6$ Полученный треугольник имеет $BM=6$ угол $BMC=60^\circ$ а биссектриса этого угла параллельна $AB$ Все условия выполнены. Официальный ответ $12$ на странице $3$ не согласуется с этими данными.

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

$AC=18$ для напечатанного условия.

Главная идея

Параллельная биссектриса переводит угол при внутренней точке в угол всего треугольника. Одна высота затем связывает известный отрезок с основанием.

Как заметить эту идею в другой задаче

Если дан угол при точке основания и параллельность его биссектрисы стороне, сначала переносите половину угла к вершине треугольника.

Возможная ошибка

Нельзя считать BM высотой: он образует с основанием 60°, а высота — 90°. Подмена меняет всю длину основания.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 3 · задача 5 ↗

Шаг в будущее · 2025/26 · математика · 8 класс · отборочный этап · вариант 1.

Авторский разбор Popov Academy.

Примечания к источнику

По проверенному условию получается AC = 18. В официальном листе на странице 3 указан ответ 12; исправлять данную длину BM = 6 ради совпадения нельзя.

Можете объяснить решение своими словами?

Тема, знания и приёмы

Треугольники и углы · Нужна школьная база

Сумма углов
равенство и подобие треугольников

Приёмы решения: Дополнительное построение

Задать вопрос по задаче →