Шаг в будущее 2025/26 · Математика · 8 кл., №4

Условие

Найдите вероятность того, что сумма натуральных решений уравнения $xy=2^{11}2^{10}5^9$ является чётной. Представьте ответ в виде несократимой дроби $\frac mn$ в ответ запишите сумму $m+n$

О задаче · 8 класс · 9 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Математика · 8 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Отборочный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 4

Официальные баллы9 баллов

Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 8 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Произведение чётно. При какой чётности двух множителей их сумма тоже чётна?

Подсказка 2

Представьте $x$ как $2^a5^b$ и посмотрите, когда и $x$ и $y$ содержат хотя бы одну двойку.

Разобрать решение по шагам

Сохраним напечатанное произведение

В PDF указано $xy=2^{11}2^{10}5^9$ то есть

xy=2^{21}5^9.

Основание $2$ действительно напечатано дважды. Не заменяем одно из них предполагаемым другим числом. Будем выбирать все натуральные пары $(x,y)$ равновероятно — обычная конечная модель такого вопроса.

Опишем пары через показатели степеней

У каждого делителя произведения есть вид

x=2^a5^b,\qquad 0\le a\le21,\quad0\le b\le9.

После выбора $x$ число $y$ определено:

y=2^{21-a}5^{9-b}.

Для $a$ есть $22$ выбора, для $b$ — $10$ Всего $22\cdot10=220$ пар.

Проверим, когда сумма чётная

Сумма двух чисел чётна, если оба одной чётности. Оба нечётными быть не могут: их произведение чётно. Значит, оба должны быть чётными. Число $x$ чётно при $a\ge1$ число $y$ — при $21-a\ge1$ Вместе это

1\le a\le20.

Для $a$ осталось $20$ выборов, для $b$ по-прежнему $10$ благоприятных пар $200$

Сократим вероятность и сравним источник

Вероятность равна

\frac{200}{220}=\frac{10}{11}.

Дробь несократима, поэтому запрошенная сумма $m+n=10+11=21$ Если считать пары без порядка, числа исходов и благоприятных исходов оба уменьшаются вдвое: вероятность сохраняется. Напечатанный официальный ответ $11$ не совпадает с расчётом по этой записи произведения.

Ответ

$m+n=21$ при равновероятном выборе натуральных пар для напечатанного произведения.

Главная идея

Разложение на простые множители превращает выбор делителя в независимый выбор показателей, а чётность — в ограничения на показатель двойки.

Как заметить эту идею в другой задаче

В задачах о случайном делителе или паре множителей сначала разложите число на простые и перечислите допустимые показатели.

Возможная ошибка

Перемножение двух степеней с основанием 2 складывает показатели: 11 + 10 = 21. Удалить один множитель как «лишний» без исправления источника нельзя.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 2 · задача 4 ↗

Шаг в будущее · 2025/26 · математика · 8 класс · отборочный этап · вариант 1.

Авторский разбор Popov Academy.

Примечания к источнику

Повторное основание 2 проверено по оригинальной странице 2: xy = 2¹¹ · 2¹⁰ · 5⁹. Для этой записи ответ 21, тогда как официальный лист указывает 11. Число в условии не исправлялось.

Можете объяснить решение своими словами?

Тема, знания и приёмы

Делимость и простые множители · Нужна школьная база

Делители, простые числа и разложение на множители

Приёмы решения: Разложение на множители · Последовательный подсчёт без повторов

Задать вопрос по задаче →