Шаг в будущее 2025/26 · Математика · 8 кл., №7

Условие

Найдите все значения параметра $a$ при каждом из которых уравнение $\sqrt{(x-2)^2}+|x-a|=x+3+\frac{|x-2|\cdot(x^2-2x-1)}{x-2}$ имеет 2 решения. В ответе укажите наименьшее из них.

О задаче · 8 класс · 12 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Математика · 8 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Отборочный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 7

Официальные баллы12 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy5/5 · предварительно

Для подготовки: 8 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Сначала укажите запрещённое значение $x$ Раскройте $|x-2|$ отдельно слева и справа от него.

Подсказка 2

Получив $|x-a|=F(x)$ выразите $a$ двумя способами: $a=x+F(x)$ и $a=x-F(x)$ Следите за условием $F(x)\ge0$ и исключённым концом промежутка.

Разобрать решение по шагам

Сначала учтём запрет и раскроем модуль

Знаменатель требует $x\ne2$ а $\sqrt{(x-2)^2}=|x-2|$ Разберём знак до сокращения. При $x<2$ имеем $|x-2|=2-x$ и $\frac{|x-2|}{x-2}=-1$ поэтому

\begin{aligned}2-x+|x-a|&=x+3-(x^2-2x-1),\\[0.45em]|x-a|&=-x^2+4x+2=6-(x-2)^2.\end{aligned}

При $x>2$ отношение модулей равно $1$

\begin{aligned}x-2+|x-a|&=x+3+x^2-2x-1,\\[0.45em]|x-a|&=x^2-2x+4=(x-1)^2+3.\end{aligned}

Выразим параметр через корень

Для примера, равенство $|x-a|=3$ означает $a=x-3$ или $a=x+3$ Аналогично при $|x-a|=F(x)$ нужно сначала потребовать $F(x)\ge0$ а затем рассмотреть две ветви параметра. Слева от двойки

6-(x-2)^2\ge0,\quad x<2\quad\Longrightarrow\quad L\le x<2,\qquad L=2-\sqrt6.

Выражаем $a$ и выделяем квадраты:

\begin{aligned}a&=x+F(x)=-x^2+5x+2=\frac{33}{4}-\left(x-\frac52\right)^2,\\[3pt]a&=x-F(x)=x^2-3x-2=\left(x-\frac32\right)^2-\frac{17}{4}.\end{aligned}

На $[L,2)$ первая ветвь возрастает от $L$ до $8$ не достигая $8$ Вторая сначала убывает от $L$ до $-\frac{17}{4}$ при $x=\frac32$ затем возрастает к $-4$ не достигая последнего значения на этой возрастающей части. Эти факты видны из расстояния до вершины соответствующей параболы; производные не нужны.

Посчитаем корни левее двойки

Горизонтальная линия $a=\text{const}$ показывает, сколько раз параметр достигается на каждой ветви. От $-\frac{17}{4}$ до $-4$ она пересекает обе стороны нижней параболы; в вершине — одну. При $a=-4$ один кандидат равен запрещённому $x=2$ но другой остаётся. Выше $-4$ и ниже $L$ остаётся одна точка на нижней ветви; выше $L$ и ниже $8$ — одна на верхней. При $a=L$ ветви сходятся в одном корне $x=L$ его нельзя считать дважды.

Параметр $a$	Корней при $x<2$	Причина границы
$a<-\frac{17}{4}$	$0$	Ни одна ветвь не достигает такого уровня
$a=-\frac{17}{4}$	$1$	Вершина параболы
$-\frac{17}{4}<a<-4$	$2$	Две стороны одной параболы
$-4\le a<8$	$1$	При $a=-4$ исключаем $x=2$ при $a=L$ не удваиваем общий корень
$a\ge8$	$0$	Конец $x=2$ не входит

Добавим корни правее двойки

При $x>2$ правая часть $(x-1)^2+3$ положительна всегда. Поэтому обе ветви допустимы:

\begin{aligned}a&=x+F(x)=x^2-x+4=\left(x-\frac12\right)^2+\frac{15}{4},\\[3pt]a&=x-F(x)=-x^2+3x-4=-\left(x-\frac32\right)^2-\frac74.\end{aligned}

На $x>2$ первая возрастает от $6$ вторая убывает от $-2$ Начальные уровни не достигаются: $x=2$ запрещён. Поэтому справа ровно один корень при $a>6$ или $a<-2$ а при $-2\le a\le6$ корней нет.

Выберем ровно два корня

Складываем количества по разные стороны запрещённой точки. Таблица включает сами граничные значения:

a\in\left\{-\frac{17}{4}\right\}\cup[-4,-2)\cup(6,8).

Наименьшее значение — $-\frac{17}{4}=-4{,}25$

Параметр	Слева от $2$	Справа от $2$	Всего
$a<-\frac{17}{4}$	$0$	$1$	$1$
$a=-\frac{17}{4}$	$1$	$1$	$2$
$-\frac{17}{4}<a<-4$	$2$	$1$	$3$
$-4\le a<-2$	$1$	$1$	$2$
$-2\le a\le6$	$1$	$0$	$1$
$6<a<8$	$1$	$1$	$2$
$a\ge8$	$0$	$1$	$1$