Шаг в будущее 2025/26 · Математика · 8 кл., №8

Условие

В прямоугольной трапеции $ABCD$ с прямым углом $A$ основаниями $AD$ и $BC$ $(AD>BC)$ точка $O$ является точкой пересечения биссектрис всех углов трапеции, $CD=\sqrt3-1$ Биссектриса $DO$ пересекает сторону $AB$ в точке $M$ и $\angle MOB=15^\circ$ Вычислите длину отрезка $DM$

Биссектрисы и угол MOB даны в условии; вспомогательные проекции пока отсутствуют.

О задаче · 8 класс · 14 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Математика · 8 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Отборочный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 8

Официальные баллы14 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy4/5 · предварительно

Для подготовки: 8 класс.

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюПостроение по шагам

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Биссектрисы и проекции

Последовательно включайте только те объекты, которые используются в текущем шаге.

1. Половина высоты

$AE=OE=\frac h2$ Проекция $E$ относится к точке $O$

2. Находим угол

$\angle ADC=60^\circ$ поэтому $DM$ идёт под углом $30^\circ$ к основанию.

3. Связываем длины

$CK=h$ $OE=\frac h2$ прямоугольные треугольники $CDK$ и $DOE$ дают $AD$

Все состояния доступны и без анимации. Построения сохраняют исходные длины и углы.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Используйте биссектрисы двух прямых углов: где относительно сторон находится точка $O$

Подсказка 2

Выразите $\angle MOB$ через половину угла при $D$ Затем опустите перпендикуляры из $C$ и $O$ на большее основание.

Разобрать решение по шагам

Используем прямые углы трапеции

Углы $A$ и $B$ прямые. Их биссектрисы дают в треугольнике $AOB$ углы по $45^\circ$ значит, $AO=BO$ Введём высоту трапеции $AB=h$ и опустим $OE\perp AD$ Из равенства расстояний точки $O$ до $A$ и $B$ её высота над $AD$ равна половине $AB$ Кроме того, треугольник $AOE$ прямоугольный равнобедренный. Получаем

OE=AE=\frac h2.

Проекция E показывает, почему обе нужные длины равны половине h.

Найдём угол при большем основании

Пусть $\angle ADC=\delta$ Так как $AD>BC$ угол $\delta$ острый, а биссектриса $DM$ образует с направлением $DA$ угол $\frac\delta2$ Луч $OB$ образует с направлением влево вверх угол $45^\circ$ к основанию, а луч $OM$ — угол $\frac\delta2$ Поэтому заданный угол между ними — разность:

45^\circ-\frac\delta2=15^\circ.

Отсюда $\delta=60^\circ$ а угол между $DM$ и основанием равен $30^\circ$

Обе части угла D равны 30°; исходный угол MOB остаётся 15°.

Найдём высоту и основание

Теперь длина $CD$ позволяет найти высоту. Опустим $CK\perp AD$ В треугольнике $CDK$ угол при $D$ равен $60^\circ$ значит, катет против $30^\circ$ — половина гипотенузы:

DK=\frac{CD}{2},\qquad h=CK=\sqrt{CD^2-\left(\frac{CD}{2}\right)^2}=\frac{CD\sqrt3}{2}.

Проекция $E$ уже построена: $OE=AE=\frac h2$ В треугольнике $DOE$ угол при $D$ равен $30^\circ$ поэтому $DO=2OE=h$ По теореме Пифагора

DE=\sqrt{h^2-\left(\frac h2\right)^2}=\frac{h\sqrt3}{2}.

Складываем соседние отрезки:

AD=AE+ED=\frac{h(1+\sqrt3)}2.

Теперь добавлена проекция K: CD определяет h, а h определяет AD.

Вычислим длину биссектрисы до стороны

В прямоугольном треугольнике $ADM$ угол при $D$ равен $30^\circ$ Поэтому $AM=\frac{DM}{2}$ и

AD^2=DM^2-\left(\frac{DM}{2}\right)^2=\frac34DM^2.

Берём положительные длины и подставляем сначала $AD$ затем $h$ и $CD$

\begin{aligned}DM&=\frac{2AD}{\sqrt3}=\frac{h(1+\sqrt3)}{\sqrt3}\\[3pt]&=\frac{CD(1+\sqrt3)}2=\frac{(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)}2=1.\end{aligned}

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

$DM=1$

Главная идея

Сначала восстановить углы и положение общей точки биссектрис, затем выразить все нужные длины через высоту.

Как заметить эту идею в другой задаче

Общая точка биссектрис двух соседних прямых углов лежит на одинаковом расстоянии от трёх сторон; это даёт простые половины высоты.

Возможная ошибка

Считать $\angle MOB$ равным половине угла $D$ угол между биссектрисой и $OB$ требует учесть ещё угол $45^\circ$

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 4 · задача 8 ↗

Шаг в будущее · 2025/26 · математика · 8 класс · отборочный этап · вариант 1.

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Треугольники и углы →

Тема, знания и приёмы

Треугольники и углы · Нужна школьная база

Сумма углов
равенство и подобие треугольников

Приёмы решения: Дополнительное построение

Задать вопрос по задаче →