Шаг в будущее

Найти количество пар целых чисел $x,y$, удовлетворяющих уравнению $x^2+2030=y^2$.

Бабушка ходила в лес за грибами. Она набрала так много, что позвонила с опушки внуку Вите, попросила встретить её на велосипеде и забрать часть грибов. От их дома до опушки леса надо сначала ехать $4$ км по шоссе, а затем $2$ км по грунтовой дороге. По шоссе Витя на велосипеде едет со скоростью $20$ км/ч, а по грунтовой дороге – $17$ км/ч. Движение навстречу друг другу они начали одновременно. Сколько метров прошла бабушка от опушки до встречи с внуком, если её скорость – $3$ км/ч?

Угол $BAC$ равен $30^\circ$. Из точки $B$ на сторону $AC$ опущен перпендикуляр $BE$, из точки $E$ на сторону $AB$ опущен перпендикуляр $EF$, из точки $F$ на сторону $AC$ опущен перпендикуляр $FK$, из точки $K$ на сторону $AB$ опущен перпендикуляр $KM$. Найдите площадь треугольника $AMK$, если площадь треугольника $ABE$ равна $64$.

Найдите вероятность того, что сумма натуральных решений уравнения $xy=2^{11}2^{10}5^9$ является чётной. Представьте ответ в виде несократимой дроби $\frac mn$, в ответ запишите сумму $m+n$.

В равнобедренном треугольнике АВС на основании AC отметили точку М так, что ВМ=6 и ∠BMC=60°. Оказалось, что биссектриса угла ВМС параллельна стороне АВ. Вычислите длину стороны АС

Баба Яга и Кощей Бессмертный варили эликсир молодости. Они смешали отвар корня женьшеня, настойку золотого уса и сок ягод аронии в отношении $3:2:5$. Баба Яга проверила зелье на себе, выпила $150$ мл эликсира и для лучшего эффекта решила добавить $100$ мл настойки золотого уса и $130$ мл талой воды. Концентрация золотого уса в новом эликсире не должна превышать $25\%$. Сколько мл сока ягод аронии было в эликсире первоначально, если первоначальное количество настойки золотого уса было не больше $200$ мл.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $\sqrt{(x-2)^2}+|x-a|=x+3+\frac{|x-2|\cdot(x^2-2x-1)}{x-2}$ имеет 2 решения. В ответе укажите наименьшее из них.

В прямоугольной трапеции $ABCD$ с прямым углом $A$, основаниями $AD$ и $BC$ $(AD>BC)$ точка $O$ является точкой пересечения биссектрис всех углов трапеции, $CD=\sqrt3-1$. Биссектриса $DO$ пересекает сторону $AB$ в точке $M$ и $\angle MOB=15^\circ$. Вычислите длину отрезка $DM$.

Найдите все решения в натуральных числах уравнения $ab-4a^2=220+b$ такие, что и a, и b кратны 5, и 86 < a+b < 111. В ответ укажите сумму a+b. Если таких решений несколько, в ответ запишите их количество