Шаг в будущее 2025/26 · Математика · 8 кл., №2

Условие

Бабушка ходила в лес за грибами. Она набрала так много, что позвонила с опушки внуку Вите, попросила встретить её на велосипеде и забрать часть грибов. От их дома до опушки леса надо сначала ехать $4$ км по шоссе, а затем $2$ км по грунтовой дороге. По шоссе Витя на велосипеде едет со скоростью $20$ км/ч, а по грунтовой дороге – $17$ км/ч. Движение навстречу друг другу они начали одновременно. Сколько метров прошла бабушка от опушки до встречи с внуком, если её скорость – $3$ км/ч?

О задаче · 8 класс · 9 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Математика · 8 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Отборочный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 2

Официальные баллы9 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy2/5 · предварительно

Для подготовки: 8 класс.

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюПостроение по шагам

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Одни часы для обоих участников

Три расчётных момента; расстояния отсчитываются от дома. Положение бабушки учитывается и пока Витя едет по шоссе.

1. Старт

$t=0$ Участники разделены всей дорогой: $4+2=6$ км.

2. Витя въехал на грунт

$t=0{,}2$ ч. Витя в точке $4$ км, бабушка — в точке $6-3\cdot0{,}2=5{,}4$ км. До встречи осталось $1{,}4$ км.

3. Встреча

$t=0{,}27$ ч. Оба находятся в точке $5{,}19$ км от дома; путь бабушки от опушки — $0{,}81$ км.

Все состояния доступны и без анимации. Построения сохраняют исходные длины и углы.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Разделите движение на два промежутка: пока Витя едет по шоссе и после его выезда на грунтовую дорогу.

Подсказка 2

Найдите, сколько успеет пройти бабушка за $\frac{4}{20}$ часа. Оставшееся расстояние они сокращают вместе со скоростью $17+3$ км/ч.

Разобрать решение по шагам

Разделим движение по дорогам

Первые $4$ км Витя едет по шоссе:

t_1=\frac{4}{20}=0{,}2\text{ ч}.

За это время бабушка проходит $3\cdot0{,}2=0{,}6$ км. Это меньше длины грунтового участка $2$ км, значит, она ещё не вышла на шоссе. Между ними остаётся $2-0{,}6=1{,}4$ км.

Один и тот же момент: велосипедист уже на грунте, бабушка ещё не дошла до шоссе.

Найдём оставшееся время

Оба теперь идут навстречу по грунтовой дороге. За час расстояние между ними уменьшается на $17+3=20$ км. Поэтому

t_2=\frac{1{,}4}{17+3}=0{,}07\text{ ч}.

Вычислим путь бабушки

Бабушка шла всё время $t_1+t_2=0{,}27$ ч. Её путь равен $3\cdot0{,}27=0{,}81$ км, то есть $810$ м.

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

$810$ м.

Главная идея

На каждом участке использовать свою скорость, сохраняя общее время движения участников.

Как заметить эту идею в другой задаче

Если скорость меняется в известной точке маршрута, сначала найдите положение второго участника в момент этой смены.

Возможная ошибка

Усреднить две скорости Вити без учёта времени на каждом участке или забыть путь бабушки за первый промежуток.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 1 · задача 2 ↗

Шаг в будущее · 2025/26 · математика · 8 класс · отборочный этап · вариант 1.

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Следующий учебный шаг

Попробуй похожую задачу

Мотоциклист вдоль колонны →

Росатом · № 1

Сложность 3/5 · предварительная оценка

Продолжить тему: Задачи на движение →

Тема, знания и приёмы

Задачи на движение · Нужна школьная база

Путь как произведение скорости на время
перевод единиц времени

Приёмы решения: Относительное движение · Разбор случаев

Задать вопрос по задаче →