Росатом 2025/26 · Математика · 8 кл., №1 — решение · финал

Условие

Колонна длиной $1$ км движется со скоростью $40$ км/ч. Мотоциклист начинает движение у её последней машины, доезжает до первой, разворачивается и возвращается к последней машине, которая продолжает ехать вместе с колонной. За весь манёвр колонна проходит $2$ км. Найдите скорость мотоциклиста относительно дороги: в обоих направлениях её величина одинакова, разворот происходит мгновенно.

О задаче · 8 класс · 3 баллов

Олимпиада: Росатом
Предмет / класс: Математика · 8 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 1

Официальные баллы3 баллов

Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 8 класс.

Исследуй задачу

Модель с пояснениями к решениюОткрыть модель

Есть пояснения и построения из решения. Открой, когда захочешь воспользоваться этой помощью.

Проследите весь манёвр

Колонна и мотоциклист движутся по одним часам. Положение отсчитывается от места, где в начале находилась последняя машина. Модель использует уже найденную скорость $20(1+\sqrt5)$ км/ч.

Старт у последней машины.По дороге: конец колонны 0 км; начало 1 км; мотоциклист 0 км.Скорость мотоциклиста относительно дороги: +64,721 км/ч. Скорость колонны: +40 км/ч.До первой машины: 1 км.

0 с: мотоциклист у конца колонны, координата 0 км.

145,623059 с: встреча с первой машиной, координата 2,618034 км.

180 с: возвращение к последней машине, координата 2 км.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Сколько времени длился манёвр? Это можно узнать по движению самой колонны.

Подсказка 2

Рассмотрите движение относительно колонны. На пути вперёд расстояние сокращается со скоростью $v-40$ на обратном — со скоростью $v+40$ Какова длина каждого относительного участка?

Разобрать решение по шагам

Найдём время по движению колонны

Скорость мотоциклиста пока неизвестна, а движение колонны уже даёт общую длительность манёвра:

T=\frac{2}{40}=\frac1{20}\text{ ч}=3\text{ мин}.

Обозначим искомую скорость через $v$ км/ч. Чтобы догнать начало колонны, нужно $v>40$ Это ограничение понадобится при выборе корня.

Будем следить за расстоянием между участниками

Представим, что наблюдатель едет вместе с колонной: её начало и конец для него неподвижны и разделены одним километром. Например, при скорости мотоциклиста $60$ км/ч разрыв впереди сокращался бы со скоростью $60-40=20$ км/ч. На обратном пути мотоциклист и последняя машина двигались бы навстречу: скорость сближения равнялась бы $60+40=100$ км/ч.

Для неизвестного $v$ получаем ту же схему:

t_1=\frac1{v-40},\qquad t_2=\frac1{v+40}.

Здесь времена выражены в часах. В обоих числителях стоит длина колонны, а не пройденный мотоциклистом путь по дороге.

Сложим времена и раскроем преобразования

Две части манёвра вместе занимают $T$

\frac1{v-40}+\frac1{v+40}=\frac1{20}.

При $v>40$ оба знаменателя положительны, поэтому можно привести дроби к общему знаменателю и умножить на него:

\frac{(v+40)+(v-40)}{(v-40)(v+40)}=\frac1{20},

\frac{2v}{v^2-1600}=\frac1{20},\qquad v^2-1600=40v.

Переносим всё влево и выделяем квадрат:

v^2-40v-1600=0,\qquad (v-20)^2=2000.

Следовательно,

v=20\pm20\sqrt5.

Проверим ограничение и смысл результата

Значение $20-20\sqrt5$ отрицательно, а

20+20\sqrt5>40.

Подходит только второй корень. Все предыдущие преобразования при $v>40$ обратимы; значит, найденная скорость действительно даёт суммарное время $\frac1{20}$ часа.

v=20(1+\sqrt5)\text{ км/ч}\approx64{,}72\text{ км/ч}.

Мотоциклист возвращается к движущемуся концу колонны: к этому времени он уже находится на $2$ км дальше начального положения. В модели ниже это видно по одной общей оси дороги.

Открыть модель к этому разбору ↑

Ответ

$20(1+\sqrt5)$ км/ч, приблизительно $64{,}72$ км/ч.

Главная идея

В системе отсчёта колонны расстояние между её концами остаётся $1$ км. Два относительных времени складываются в общее время, известное по движению самой колонны.

Как заметить эту идею в другой задаче

Если участник доезжает от одного конца движущегося объекта до другого, сначала спросите, какая длина остаётся постоянной в системе этого объекта. Отдельно определите скорости сближения при погоне и встречном движении.

Возможная ошибка

Считать, что мотоциклист возвращается в исходную точку дороги. Он возвращается к последней машине, а она за время манёвра уехала на $2$ км.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 2 · задача 1 ↗

Росатом · 2025/26 · математика · 8 класс · заключительный этап · вариант 1.

Сохранён существующий учебный разбор. При этой редакции проверены преобразования формул и данные схем; нового независимого сравнения с оригиналом и официальным решением не проводилось.

Можете объяснить решение своими словами?

Следующий учебный шаг

Попробуй похожую задачу

Встреча на двух дорогах →

Шаг в будущее · № 2

Сложность 2/5 · предварительная оценка

Продолжить тему: Задачи на движение →

Тема, знания и приёмы

Задачи на движение · Нужна школьная база

Путь как произведение скорости на время
перевод единиц времени

Приёмы решения: Относительное движение

Задать вопрос по задаче →