Четыре модуля

Найдём точки, в которых меняются знаки

Для решения нужно, чтобы разность левой и правой частей была равна нулю. Обозначим её

Выражения под модулями меняют знак в точках $0$, $1$, $2$ и $4$. Между соседними точками каждый модуль раскрывается одинаково на всём промежутке. Например, слева от нуля $|x-1|=1-x$, а справа от единицы $|x-1|=x-1$. Проверим все пять промежутков, включая их границы.

Разберём два левых промежутка

При $x\le0$ все выражения под модулями неположительны:

Подставляем все четыре выражения:

Собираем коэффициенты при $x$ и постоянные слагаемые отдельно:

Его ноль $x=-2$ удовлетворяет ограничению $x\le0$.

При $0<x\le1$ раскрытие модулей имеет вид

Меняется только знак первого выражения: вместо $-3x$ появляется $3x$. Поэтому к прежнему результату прибавляется $6x$:

Кандидат $x=4$ не входит в $0<x\le1$, поэтому на этом промежутке решений нет.

Проследим следующие две смены знака

При $1<x\le2$ имеем

Меняется слагаемое с коэффициентом $-4$. Вместо $-4(1-x)$ теперь стоит $-4(x-1)$; их разность равна $-8x+8$. Значит,

Ноль $x=0$ не входит в $1<x\le2$.

При $2<x\le4$ получаем

Теперь меняется слагаемое с коэффициентом $6$: вместо $6(2-x)$ теперь $6(x-2)$, то есть добавляется $12x-24$:

Его ноль $x=4$ лежит на включённой границе и подходит.

Поймём, откуда берётся целый луч

При $x>4$ все выражения под модулями положительны:

Поэтому

Коэффициент при $x$ и постоянная часть оба исчезают:

Поэтому $F(x)=0$ для любого $x>4$, а не только в отдельной точке. Вместе с проверенной границей $x=4$ получаем луч $[4;+\infty)$.

Точки $0$, $1$, $2$ уже были включены в предыдущие промежутки; значения в них равны соответственно $-8$, $-6$, $-12$ и не дают новых корней. Полный ответ: